Cho nửa đường tròn \((O;R)\) đường kính \(AB.\) Tiếp tuyến \(Ax\) tại \(A\) (\(Ax\) thuộc nửa

Câu hỏi số 749912:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \((O;R)\) đường kính \(AB.\) Tiếp tuyến \(Ax\) tại \(A\) (\(Ax\) thuộc nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn), lấy điểm \(C\) thuộc tia \(Ax.\) Từ \(C\) kẻ tiếp tuyến \(CD\) với nửa đường tròn \((O)\) tại \(D.\) \(AD\) giao \(OC\) tại \(E.\)
a) Chứng minh: Tứ giác \(ACDO\) nội tiếp
b) Chứng minh: \(CO\) là trung trực của \(AD\)
c) Chứng minh: \(A{D^2} = 4CE.EO\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:749912

Phương pháp giải

a) Vì \(AC,CD\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \(AC \bot AO;\,\,CD \bot DO\). Từ đó suy ra các góc vuông. Dựa vào định lí góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh C và O cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AD.

c) Chứng minh \(\Delta CAE\) và \(\Delta AOE\) đồng dạng, từ đó suy ra cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

Giải chi tiết

a) Vì \(AC,CD\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \(AC \bot AO;\,\,CD \bot DO\)

Suy ra \(\angle {CAO} = {90^0};\,\,\angle {CDO} = {90^0}\)

Khi đó:

\(C,A,O\) thuộc đường tròn đường kính \(CO\)

\(C,D,O\) thuộc đường tròn đường kính \(CO\)

Vậy bốn điểm \(C,A,O,D\) thuộc đường tròn đường kính \(CO\) hay tứ giác \(ACDO\) nội tiếp.
b) Vì \(AC,CD\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) cắt nhau tại C nên \(AC = DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

Mặt khác \(AO = DO = R\)

Suy ra \(CO\) là trung trực của \(AD\)
c) Vì \(CO\) là trung trực của \(AD\) (cmt) nên \(CO \bot AD\) tại trung điểm E.

Suy ra \(AE = ED = \dfrac{{AD}}{2}\)

Ta có \(\angle {CAE} + \angle {EAO} = {90^0}\); \(\angle {EOA} + \angle {EAO} = {90^0}\) nên \(\angle {CAE} = \angle {EOA}\)

Xét \(\Delta CAE\) và \(\Delta AOE\) có:

\(\angle {CAE} = \angle {AOE}\,\,(cmt)\)

\(\angle {CEA} = \angle {AEO} = {90^0}\)

Suy ra \(\Delta CAE\)~\(\Delta AOE\) (g.g)

Khi đó \(\dfrac{{CE}}{{AE}} = \dfrac{{AE}}{{EO}}\) hay \(A{E^2} = CE.EO\)

Mà \(AE = ED = \dfrac{{AD}}{2}\) (cmt) nên \(\dfrac{{A{D^2}}}{4} = CE.EO\) hay \(A{D^2} = 4CE.EO\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link