Biết rằng với \(m = \dfrac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N},\dfrac{a}{b}} \right.\) tối giản) phương

Câu hỏi số 749976:

Thông hiểu

Biết rằng với \(m = \dfrac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N},\dfrac{a}{b}} \right.\) tối giản) phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\dfrac{{{9^x}}}{2} - 2m \cdot {3^x} + 6m - \dfrac{3}{2}} \right) = x\) có hai nghiệm thực \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12\). Giá trị của \(a + b\) là :

A. 3

B. 5

C. 7

D. 8

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:749976

Phương pháp giải

Đưa phương trình về phương trình mũ, đặt \(t = {3^x}(t > 0)\) và đưa về phương trình bậc hai.

Giải chi tiết

Ta có : \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\dfrac{{{9^x}}}{2} - 2m \cdot {3^x} + 6m - \dfrac{3}{2}} \right) = x \Leftrightarrow \dfrac{{{9^x}}}{2} - 2m \cdot {3^x} + 6m - \dfrac{3}{2} = {3^x}\) \( \Leftrightarrow {9^x} - 2\left( {2m + 1} \right) \cdot {3^x} + 3\left( {4m - 1} \right) = 0\)

Đặt \(t = {3^x}(t > 0)\) thì phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 2\left( {2m + 1} \right)t + 3\left( {4m - 1} \right) = 0\left( 1 \right)\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \) Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân

biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(2m + 1)}^2} - 3\left( {4m - 1} \right) > 0}\\{2m + 1 > 0}\\{4m - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1}\\{m > \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Khi đó \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 4m - 1}\\{t = 3}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{{x_1}}} = 4m - 1}\\{{3^{{x_2}}} = 3}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {4m - 1} \right)}\\{{x_2} = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Ta có \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {4m - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(m = \dfrac{5}{2}\) là giá trị cần tìm. Giá trị của \(a + b = 7\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.