Cho hình chóp tứ giác đều $S \cdot ABCD$ có $AB = a,$$SA = a\sqrt 2 $. Gọi G

Câu hỏi số 750408:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều $S \cdot ABCD$ có $AB = a,$$SA = a\sqrt 2 $. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính cosin góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:750408

Phương pháp giải

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, $O = AC \cap BD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} H = AM \cap OD$.

Chứng minh $\angle \left( {BG;SA} \right) = \angle \left( {BG;HG} \right)$.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác.

Giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm của CD, $O = AC \cap BD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} H = AM \cap OD$.

Xét tam giác ACD có $H$ là trọng tâm tam giác $ \Rightarrow \dfrac{{MH}}{{MA}} = \dfrac{1}{3}$.

Ta có: $\dfrac{{MH}}{{MA}} = \dfrac{{MG}}{{MS}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow HG//SA$ (Định lí Ta-lét đảo)

$ \Rightarrow \alpha = \angle \left( {BG;SA} \right) = \angle \left( {BG;HG} \right)$.

Ta có $HG = \dfrac{1}{3}SA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}$.

$H$ là trọng tâm tam giác ACD $ \Rightarrow OH = \dfrac{1}{3}OD = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.BD = \dfrac{1}{6}BD$

$ \Rightarrow BH = \dfrac{1}{2}BD + \dfrac{1}{6}BD = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{2}{3}.a\sqrt 2 $.

Ta có $BM = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} SM = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}$.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SBM ta có:

$\cos \angle SMB = \dfrac{{S{M^2} + B{M^2} - S{B^2}}}{{2SM.BM}} = \dfrac{{\dfrac{{7{a^2}}}{4} + \dfrac{{5{a^2}}}{4} - 2{a^2}}}{{2\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt {35} }}{{35}}$

Ta có $GM = \dfrac{1}{3}SM = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{6}$.

Áp dụng định Cosin trong tam giác BMG ta có:

$B{G^2} = M{B^2} + M{G^2} - 2MB.MG.\cos \angle SMB$

$= \dfrac{{5{a^2}}}{4} + \dfrac{{7{a^2}}}{{36}} - 2.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{6}.\dfrac{{2\sqrt {35} }}{{35}}$

$= \dfrac{{10}}{9}{a^2} \Rightarrow BG = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{3}$

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác BHG ta có:

$\cos \angle BGH = \dfrac{{G{B^2} + G{H^2} - B{H^2}}}{{2.GB.GH}} = \dfrac{{\dfrac{{10{a^2}}}{9} + \dfrac{{2{a^2}}}{9} - \dfrac{{8{a^2}}}{9}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt {10} }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5} \approx 0,45.$.

Vậy $\cos \alpha = 0,45.$

Đáp án cần điền là: 0,45

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.