Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL Hà Nội, ĐGNL HCM - Ngày 17-18/01/2026
 ↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 3 ↪ ĐGNL HCM (V-ACT) - Trạm 3
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;0; - 1} \right),\,\,B\left( { - 1;1;0} \right),\,\,C\left(

Câu hỏi số 750472:
Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;0; - 1} \right),\,\,B\left( { - 1;1;0} \right),\,\,C\left( {1;0;1} \right)\).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Đúng Sai
a) Điểm \(I(\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{{ - 1}}{2})\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
b) Khi tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì \(O{\rm{D}} = \sqrt 6 \).
c) Điểm \(H(a;\,b;\,c)\) là chân đường cao kẻ từ \(A\)xuống cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\). Khi đó \(a + b + c = \dfrac{5}{3}\).
d) Biết điểm \(M(x;y;z)\) để biểu thức \(3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó \(4x - 2y + z = 2024\)

Đáp án đúng là: Đ; S; S; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:750472
Phương pháp giải

1) Công thức tìm trung điểm

2) Từ \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) tìm tạo độ D

3) Gọi H theo tham số và dùng \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH} //\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \end{array} \right.\) tìm H

4) Gọi M theo tham số và tính \(P = 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) tìm GTLN, GTNN.

Giải chi tiết

Đáp án: 1 – Đúng, 2 – Sai, 3 – Sai, 4 – Sai.

1) Toạ độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(I\left( {\dfrac{{0 - 1}}{2};\dfrac{{0 + 1}}{2};\dfrac{{ - 1 + 0}}{2}} \right){\rm{ hay I}}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{{ - 1}}{2}} \right).\)

Vậy 1 đúng.

2) Gọi \(D\left( {x;\,y;\,z} \right)\). Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - x\\1 = 0 - y\\1 = 1 - z\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {2;\, - 1;\,0} \right) \Rightarrow OD = \sqrt 5 .\)

Vậy 2 sai.

3) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = (2; - 1;1)\).

Gọi \(H(x;y;z)\) là chân đường cao kẻ từ \(A\)xuống cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\).

Suy ra \(\overrightarrow {BH}  = (x + 1;y - 1;z)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH} //\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 2t;y - 1 =  - t;z = t\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Rightarrow H(2t - 1; - t + 1;t)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = (2t - 1; - t + 1;t + 1)\).

\(\left( 2 \right) \Rightarrow 2.(2t - 1) - ( - t + 1) + t + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 6t = 2 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \) \(H(\dfrac{{ - 1}}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3})\) nên \(a + b + c = \dfrac{2}{3}\).

Vậy 3 sai.

4) \(M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {x;y;z + 1} \right)\\\overrightarrow {BM}  = \left( {x + 1;y - 1;z} \right)\\\overrightarrow {CM}  = \left( {x - 1;y;z - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2}\\B{M^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\\C{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow P = 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\)

\( = 3\left[ {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2}} \right] + 2\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \right] - \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\)

\( = 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} + 6x - 4y + 8z + 5 = {\left( {2x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 2} \right)^2} - \dfrac{9}{4} \ge  - \dfrac{9}{4}\).

\( \Rightarrow MinP =  - \dfrac{9}{4}\) \( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{3}{4}\), \(y = \dfrac{1}{2}\), \(z =  - 1\), khi đó \(M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

Vậy \(P = 4x\,{\rm{ - }}\,{\rm{2y}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{z}}\;{\rm{ = }}\,{\rm{ - 3}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{1}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{1}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{ - }}\,{\rm{5}}{\rm{.}}\)

Vậy 4 Sai.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn