Chiều dài bé nhất của cái thang là ______ để nó có thể tựa

Câu hỏi số 750490:

Vận dụng

Chiều dài bé nhất của cái thang là ______ để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao \(4m\), song song và cách tường \(0,5m\) kể từ gốc của cột đỡ như hình vẽ. (làm tròn 4 chữ số sau dấu phẩy)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5,5902

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:750490

Phương pháp giải

Đặt \(HC = x > 0\). Tính AC theo x và khảo sát hàm số tìm GTNN

Giải chi tiết

Đặt \(HC = x > 0\). Suy ra \(BC = x + 0,5\).

Áp dụng định lí Thales, ta có \(\dfrac{{HC}}{{BC}} = \dfrac{{MH}}{{AB}} = \dfrac{x}{{x + 0,5}}{\rm{. }}\)

Vậy \(AB = \dfrac{{4(x + 0,5)}}{x}\).

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên suy ra \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {(x + 0,5)^2} + \dfrac{{16{{(x + 0,5)}^2}}}{{{x^2}}}.\)

Ra rút ra \(A{C^2} = \dfrac{{{{(x + 0,5)}^2}\left( {{x^2} + 16} \right)}}{{{x^2}}}.\)

Đặt \(f(x) = \dfrac{{{x^4} + {x^3} + \dfrac{{65}}{4}{x^2} + 16x + 4}}{{{x^2}}}(x > 0)\).

Bài toán trở thành tìm \(\min f(x)\) với \(x > 0\).

Ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x)}&{ = \dfrac{{\left( {4{x^3} + 3{x^2} + \dfrac{{65}}{2}x + 16} \right){x^2} - 2x\left( {{x^4} + {x^3} + \dfrac{{65}}{4}{x^2} + 16x + 4} \right)}}{{{x^4}}}}\\ \Leftrightarrow &{f'(x) = \dfrac{{2{x^4} + {x^3} - 16x - 8}}{{{x^3}}}.}\end{array}\)

Vậy \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(2x + 1)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 > 0}\\{x = - \dfrac{1}{2} < 0.}\end{array}} \right.\)

Lập bảng biến thiên, ta có

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\min }\limits_{m > 0} f(x) = f(2) = \dfrac{{125}}{4}{\rm{. }}\)

Do đó, ta có \(\min AC = \sqrt {\dfrac{{125}}{4}} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{2} \approx 5,5902\).

Đáp án cần điền là: 5,5902

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.