Cho đường tròn \(\left( {O,{\rm{ }}R} \right)\), một đường thẳng \(d\) cố định cắt đường tròn

Câu hỏi số 750963:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O,{\rm{ }}R} \right)\), một đường thẳng \(d\) cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\) nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \(MC,{\rm{ }}MD\) tới đường tròn (\(C,D\) là tiếp điểm).

a) Chứng minh bốn điểm \(M,C,O,D\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(OM \bot CD\). Đoạn thẳng \(OM\) cắt đường tròn tại \(I,\) chứng minh \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD.\)

c) Đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(OM\) cắt các tia \(MC,{\rm{ }}MD\) theo thứ tự tại \(P\) và \(Q.\) Tìm vị trí của điểm \(M\) trên đường thẳng \(d\) sao cho diện tích tam giác \(MPQ\) nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:750963

Phương pháp giải

a) Chứng minh các điểm thuộc đường tròn đường kính OM.

b) Chứng minh OM là đường trung trực của CD. Chứng minh IC là phân giác của góc MCD.

c) Tính diện tích tam giác và áp dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết

a) Tam giác \(OCM\) vuông tại \(C\) nên \(O,\,\,C,\,\,M\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

Tam giác \(OMD\) vuông tại \(D\) nên \(O,\,\,D,\,\,M\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

Do đó \(O,\,\,C,\,\,D,\,\,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

b) Ta có: \(MC = MD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó \(M\) thuộc đường trung trực của \(CD\) (1)

Lại có: \(OC = OD\)

Do đó \(O\) thuộc đường trung trực của \(CD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MO\) là đường trung trực của \(CD\)

Khi đó \(MO \bot CD\)

Vì hai tiếp tuyến tại \(C\) và \(D\) cắt nhau tại \(M\) nên \(MO\) là tia phân giác của \(\angle MCD\) (*)

Ta có: \(\angle MCI + \angle ICO = \angle MCO = 90^\circ \,\,\left( 3 \right)\)

Mà \(\angle ICD + \angle CIO = 90^\circ ,\,\,\angle ICO = \angle CIO\,\,\left( 4 \right)\)

Do đó \(\angle MCI = \angle ICD\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(I\)là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD\)

c) Ta có: \(\Delta ODQ\)~ \(\Delta MDO\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{DQ}}{{DO}} = \dfrac{{OD}}{{MD}} \Rightarrow DQ.MD = O{D^2} = {R^2}\)

Lại có: \({S_{MPQ}} = \dfrac{1}{2}MO.PQ = \dfrac{1}{2}MO.2OQ = MO.OQ = OD.MQ = R\left( {MD + DQ} \right)\)

Theo BĐT Cauchy ta có \(MD + DQ \ge 2\sqrt {MD.DQ} = 2\sqrt {{R^2}} = 2R\)

Khi đó \({S_{MPQ}} \ge 2{R^2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(MD = DQ = R \Leftrightarrow OM = R\sqrt 2 \)

Hay \(M\) là giao điểm của \(d\) với đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\sqrt 2 \)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link