Giả sử tỉ lệ sinh của tỉnh A tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa

Câu hỏi số 751122:

Vận dụng

Giả sử tỉ lệ sinh của tỉnh A tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left( t \right) = \dfrac{{200}}{{1 + 4{e^{ - t}}}},\,\,t \ge 0,\,\,t \in \mathbb{N}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng tháng. Khi đó đạo hàm $f'\left( t \right)$ sẽ biểu thị tốc độ tăng dân số của tỉnh A. Hỏi sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh A là lớn nhất?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751122

Phương pháp giải

Tính $f'(t)$. Khảo sát hàm số $y = f'(t)$

Giải chi tiết

Ta có: $f'\left( t \right) = 200.\dfrac{{4{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \dfrac{{800{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$

$\begin{array}{l}f''\left( t \right) = 800.\dfrac{{ - {e^{ - t}}{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^2} - {e^{ - t}}.2.\left( { - 4{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\\ = 800.\dfrac{{4{{\left( {{e^{ - t}}} \right)}^2} - {e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = \dfrac{{800{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\left( {4{e^{ - t}} - 1} \right)\\f''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 4{e^{ - t}} - 1 = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow t = \ln 4\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của $f'\left( t \right)$ là $50$ xảy ra tại $t = \ln 4$

Vì $f'(1)=48,2>f'(2)=45,6$ nên sau 1 tháng thì tốc độ tăng trưởng dân số của tỉnh A là lớn nhất.

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.