Cho hình chóp \({\rm{S}}.{\rm{ABC}}\) có đáy ABC là tam giác vuông

Câu hỏi số 751262:

Nhận biết

Cho hình chóp \({\rm{S}}.{\rm{ABC}}\) có đáy ABC là tam giác vuông tại \(A\), các cạnh \(AB = AC = a\), các góc \(\angle {SBA} = \angle {SCA} = {90^0}\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) và \(SH = a\sqrt 2 \). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1/3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751262

Phương pháp giải

Xác định vị trí của điểm \(H\).

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

Sử dụng định lý hàm số cos để tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.

Giải chi tiết

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(B\) và vuông góc với \(AB \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = Bt//AC\).

Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng qua \(C\) và vuông góc cới \(AC \Rightarrow \left( \beta \right) \cap \left( {ABC} \right) = Ct'//AB\).

Khi đó, \(\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = SH\) với \(H = Bt \cap Ct'\) là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC .

Khi đó: \(\Delta SAB,\Delta SAC\) là hai tam giác vuông bằng nhau có \(SB = SC = a\sqrt 3 ,SA = 2a\).

Gọi \(I\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(B\) của tam giác \(SAB\), ta có \(BI \bot SA,CI \bot SA\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là \(\left( {IB;IC} \right)\).

Xét \(\Delta IBC\) cân tại \(I\) có \(IB = IC = \dfrac{{a\sqrt 3 . a}}{{2a}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},BC = a\sqrt 2 \).

Ta có: \({\rm{cos}}\angle {BIC} = \dfrac{{I{B^2} + I{C^2} - B{C^2}}}{{2IB . IC}} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4} - 2{a^2}}}{{2 . \dfrac{{3{a^2}}}{4}}} = - \dfrac{1}{3}\).

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) bằng \(\dfrac{1}{3}\).

Đáp án: 1/3

Đáp án cần điền là: 1/3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.