Cho \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) là ba số thực dương, \(a > 1\) thỏa mãn \({\rm{log}}_a^2\left( {bc}

Câu hỏi số 751281:

Vận dụng

Cho \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) là ba số thực dương, \(a > 1\) thỏa mãn \({\rm{log}}_a^2\left( {bc} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} = 0\). Khi đó, giá trị của biểu thức \(T = a + 3b + 2c\) gần với giá trị nào nhất sau đây?

A. 8 .

B. 9 .

C. 7 .

D. 10 .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751281

Phương pháp giải

- Áp dụng bất đẳng thức \({(x + y)^2} \ge 4xy\)

\({\rm{log}}_a^2\left( {bc} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \ge {\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {bc} \right) + 2} \right]^2} + \sqrt {9 - {c^2}} \ge 0\)

Xét điều kiện để dấu “\( = \)” xảy ra.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức \({(x + y)^2} \ge 4xy\), ta được:

\({\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2} \ge {b^4}{c^4} \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2} \ge 4{\rm{log}}a\left( {bc} \right)\)

Do đó với \(\forall a > 1,b,c > 0\)

\({\rm{log}}_a^2\left( {bc} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \ge {\rm{log}}_a^2\left( {bc} \right) + 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {bc} \right) + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \)

\( \Leftrightarrow {\rm{log}}_a^2\left( {bc} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \ge {\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {bc} \right) + 2} \right]^2} + \sqrt {9 - {c^2}} \ge 0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^3}{c^3} = \dfrac{{bc}}{4}}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {bc} \right) = - 2}\\{{c^2} = 9}\\{a > 1}\\{b > 0}\\{c > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \sqrt 2 }\\{b = \dfrac{1}{6}}\\{c = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó \(T = a + 3b + 2c = \sqrt 2 + \dfrac{1}{2} + 6 \approx 7,91\).

Vậy giá trị của T gần 8 nhất.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.