Cho phương trình \({e^x} = {\rm{ln}}\left( {x + a} \right) + a\), với \(a\) là tham số. Có

Câu hỏi số 751283:

Vận dụng

Cho phương trình \({e^x} = {\rm{ln}}\left( {x + a} \right) + a\), với \(a\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\) thuộc khoảng \(\left( {0;19} \right)\) để phương trình có nghiệm dương.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 17

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751283

Phương pháp giải

Biến đổi đưa phương trình về dạng hàm đặc trưng đưa phương trình về dạng \(a = g\left( x \right)\)

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right)\) để tìm điều kiện của \(a\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{c}}{{e^x} = ln\left( {x + a} \right) + a \Leftrightarrow {e^x} + x = ln\left( {x + a} \right) + x + a \Leftrightarrow {e^x} + x = {e^{{\rm{ln}}\left( {x + a} \right)}} + ln\left( {x + a} \right)\# \left( 1 \right)}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) có \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0,\forall t\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left[ {{\rm{ln}}\left( {x + a} \right)} \right] \Leftrightarrow x = {\rm{ln}}\left( {x + a} \right) \Leftrightarrow a = {e^x} - x\).

Đặt \(g\left( x \right) = {e^x} - x \Rightarrow g'\left( x \right) = {e^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\):

Để phương trình có nghiệm dương thì \(a > 1\).

Do \(a \in \left( {0;19} \right)\) và \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a \in \left\{ {2;3; \ldots ;18} \right\}\)

Vậy có 17 giá trị nguyên của \(a\) để phương trình có nghiệm dương.

Đáp án: 17.

Đáp án cần điền là: 17

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.