Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh \(B\), cạnh \(CD = a,BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\),

Câu hỏi số 751284:

Vận dụng

Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh \(B\), cạnh \(CD = a,BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\), \(AB = AC = AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tính cosin của góc nhị diện \(\left[ {{\rm{A}},{\rm{BC}},{\rm{D}}} \right]\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

D. \( - \dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751284

Phương pháp giải

Xác định góc nhị diện \(\left[ {{\rm{A}},{\rm{BC}},{\rm{D}}} \right]\).

Giải chi tiết

Gọi \({\rm{M}},{\rm{H}}\) lần lượt là trung điểm của \({\rm{BC}},{\rm{CD}}\).

Do \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\) nên \(BH = CH = DH\) hay \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\).

Mà \(AB = AC = AD\) nên \(AH\) là đường cao kẻ từ \(A\) xuống \(\left( {BCD} \right)\) hay \(AH \bot \left( {BCD} \right)\).

\( \Rightarrow AH \bot BC\).

\({\rm{M}},{\rm{H}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}},{\rm{CD}}\) nên MH là đường trung bình của

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MH = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.}\\{MH//BD}\end{array}} \right.\).

Mà \(MD \bot BC\) nên \(MH \bot BC\). (2)

Từ (1), (2) suy ra: \(BC \bot \left( {AMH} \right)\).

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot MH}\end{array} \Rightarrow \left[ {A,BC,D} \right] = \angle {AMH}} \right.\).

Lại có: \(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow {\rm{tan}}\angle {AMH} = \dfrac{{AH}}{{MH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle {AMH} = \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow {\rm{cos}}\angle {AMH} = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.