Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên của hàm số \(y = f'\left( x

Câu hỏi số 751291:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) để hàm số \(y = f\left( {3x - 1} \right) + {x^3} - 3mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\) ?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751291

Phương pháp giải

Để hàm số \(y = f\left( {3x - 1} \right) + {x^3} - 3mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \Leftrightarrow m \le f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2},\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\) (*)

Đặt \(k\left( x \right) = f'\left( {3x - 1} \right),h\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) = f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} = k\left( x \right) + h\left( x \right)\).

Tìm \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( { - 2,1} \right)} g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Để hàm số \(y = f\left( {3x - 1} \right) + {x^3} - 3mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3f'\left( {3x - 1} \right) + 3{x^2} - 3m \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \le f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2},\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\) (*)

Đặt \(k\left( x \right) = f'\left( {3x - 1} \right),h\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) = f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} = k\left( x \right) + h\left( x \right)\).

Ta có: \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( { - 2,1} \right)} k\left( x \right) = k\left( 0 \right) = - 4\).

Do đó, ta có: \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( { - 2,1} \right)} f'\left( {3x - 1} \right) = f'\left( { - 1} \right) = - 4\) khi \(3x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x = 0\).

\( \Rightarrow \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( { - 2,1} \right)} k\left( x \right) = k\left( 0 \right) = - 4\).

Do đó, \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( { - 2,1} \right)} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = k\left( 0 \right) + h\left( 0 \right) = 0 - 4 = - 4\).

Từ (*) ta có \(m \le f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2},\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( { - 2,1} \right)} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \le - 4\).

Mà \(m \in \left( { - 10;10} \right) \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; \ldots ; - 4} \right\}\).

Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.