Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Hỏi có tất cả bao nhiêu

Câu hỏi số 751662:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\dfrac{2}{5}\)?

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751662

Phương pháp giải

Gọi tiếp điểm theo tham số, viết phương trình tiếp tuyến, lập phương trình diện tích tìm tham số thoả mãn

Giải chi tiết

Ta có \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 2 + \dfrac{5}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Gọi tiếp điểm là \(A\left( {a + 2,2 + \dfrac{5}{a}} \right)\). Khi đó tiếp tuyến tại A có dạng

\(y = \dfrac{{ - 5}}{{{a^2}}}\left( {x - a - 2} \right) + 2 + \dfrac{5}{a} = \dfrac{{ - 5x}}{{{a^2}}} + \dfrac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}\)

Tiếp tuyến cắt Oy tại \(E\left( {0,\dfrac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right)\), cắt Ox tại \(F\left( {\dfrac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5},0} \right)\)

Diện tích tam giác \(OEF\) bằng \(\dfrac{2}{5}\) nên ta có phương trình

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}.\left| {\dfrac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right|.\left| {\dfrac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5}} \right| = \dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow {\left( {2{a^2} + 10a + 10} \right)^2} = 4{a^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{a^2} + 10a + 10 = 2a\\2{a^2} + 10a + 10 = - 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 giá trị của a thoả mãn hay có 2 điểm thoả mãn bài toán

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.