Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây \({\rm{log}}\dfrac{{x + 1}}{{3y +

Câu hỏi số 751665:

Vận dụng

Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây \({\rm{log}}\dfrac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x\).

Biết \(y \le 1000\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn bất đẳng thức trên?

A. 1501100

B. 1501300

C. 1501400

D. 1501500

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751665

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có: \({\rm{log}}\dfrac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x\)

\( \Leftrightarrow {\rm{log}}\dfrac{{xy + y}}{{3{y^2} + y}} \le \left( {9{y^4} + 6{y^3} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy . y + {y^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{log}}\left( {xy + y} \right) - {\rm{log}}\left( {3{y^2} + y} \right) \le {\left( {3{y^2} + y} \right)^2} - {(xy + y)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{log}}\left( {xy + y} \right) + {(xy + y)^2} \le {\rm{log}}\left( {3{y^2} + y} \right) + {\left( {3{y^2} + y} \right)^2}\)

Xét hàm : \(f\left( t \right) = {\rm{log}}t + {t^2}\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t{\rm{ln}}10}} + 2t > 0\forall t \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow f\left( {xy + y} \right) \le f\left( {3{y^2} + y} \right) \Leftrightarrow xy + y \le 3{y^2} + y \Leftrightarrow x \le 3y\)

Vì \(y \le 1000\) nên ta có các trường hợp sau:

\(y = 1 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)

\(y = 2 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

\(y = 1000 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3; \ldots ;3000} \right\}\)

Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(3 + 6 + 9 + \ldots + 3000 = 1501500\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.