Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right) = \left( {x + 3}

Câu hỏi số 751670:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)\). Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;5} \right]\) để hàm số: \(y = f\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\) có nhiều điểm cực trị nhất

A. 13

B. 15

C. 17

D. 19

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751670

Phương pháp giải

Sử dụng tương giao đồ thị

Giải chi tiết

Xét hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\) có

\(\begin{array}{l}y' = \left( {2x - 3} \right).f'\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 0\\f'\left( {{x^2} - 3x + m} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\) có nhiều cực trị nhất thì phương trình \(f'\left( {{x^2} - 3x + m} \right) = 0\) có nhiều nghiệm bội lẻ khác \(\dfrac{3}{2}\) nhất.

Xét phương trình: \(f'\left( {{x^2} - 3x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + m + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + m - 4} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x = - m - 3}\\{{x^2} - 3x = 4 - m}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^2} - 3x\)

\(h'\left( x \right) = 2x - 3,h' = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}\)

Bảng biến thiên hàm số \(h\left( x \right) = {x^2} - 3x\)

Để \({\rm{\;}}f'\left( {{x^2} - 3x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + m + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + m - 4} \right) = 0\) có nhiều nghiệm bội lẻ nhất

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x = - m - 3}\\{{x^2} - 3x = 4 - m}\end{array}} \right.\) có nhiều nghiệm bội lẻ nhất

Số nghiệm của hai phương trình này là số giao điểm của đồ thị hàm số \(h\left( x \right) = {x^2} - 3x\) và các đường thẳng \(y = - m - 3\) và \(y = 4 - m\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(h\left( x \right) = {x^2} - 3x \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m - 3 > \dfrac{{ - 9}}{4}}\\{4 - m > \dfrac{{ - 9}}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < \dfrac{{ - 3}}{4}}\\{m < \dfrac{{25}}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Mà \(m \in \left[ { - 10;5} \right]\), kết hợp các điều kiện \( \Rightarrow m \in \left( {\dfrac{{ - 3}}{4};5} \right],m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\)

Vậy tổng các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 15

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.