Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong đoạn \(\left[ { - 10;10}

Câu hỏi số 751671:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong đoạn $\left[ { - 10;10} \right]$ sao cho đồ thị hàm số $y = {x^3}$ cắt đường thẳng $y = 3mx - {m^2}$ tại ba điểm phân biệt?

A. 4

B. 6

C. 3

D. 8

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751671

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, dựa vào hình dáng đồ thị nhận xét

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

x^3 = 3mx - m^2 \Leftrightarrow x^3 - 3mx + m^2 = 0 \quad (1)

Yêu cầu của bài toán tương đương với việc tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $f(x) = x^3 - 3mx + m^2$.

Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 3m$.

Để phương trình $f(x) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ phải có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

Điều kiện cần đầu tiên là phương trình $f'(x) = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt:

3x^2 - 3m = 0 \Leftrightarrow x^2 = m

Để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì bắt buộc: $m > 0 \quad (*)$

Khi đó, hai nghiệm của phương trình đạo hàm là $x_1 = \sqrt{m}$ và $x_2 = -\sqrt{m}$.

Ta thay $x_1, x_2$ vào hàm số $f(x)$ để tìm các giá trị cực trị ($y_{CĐ}$ và $y_{CT}$):

Với $x_1 = \sqrt{m} \Rightarrow y_1 = (\sqrt{m})^3 - 3m(\sqrt{m}) + m^2 = m\sqrt{m} - 3m\sqrt{m} + m^2 = m^2 - 2m\sqrt{m}$

Với $x_2 = -\sqrt{m} \Rightarrow y_2 = (-\sqrt{m})^3 - 3m(-\sqrt{m}) + m^2 = -m\sqrt{m} + 3m\sqrt{m} + m^2 = m^2 + 2m\sqrt{m}$

Để 2 điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành, tích các giá trị cực trị phải âm:

y_1 \cdot y_2 < 0

\Leftrightarrow (m^2 - 2m\sqrt{m})(m^2 + 2m\sqrt{m}) < 0

$\Leftrightarrow (m^2)^2 - (2m\sqrt{m})^2 < 0$

\Leftrightarrow m^4 - 4m^3 < 0

\Leftrightarrow m^3(m - 4) < 0

Vì ta đã có điều kiện $(*)$ là $m > 0$, suy ra $m^3 > 0$.

Do đó, ta có thể chia cả hai vế của bất phương trình cho $m^3$ mà không làm đổi chiều bất phương trình:

m - 4 < 0 \Leftrightarrow m < 4

Kết hợp với điều kiện $(*)$, ta được khoảng giá trị của $m$ là: $0 < m < 4$.

Đề bài yêu cầu tìm các giá trị nguyên của tham số $m$ nằm trong đoạn $[-10; 10]$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ và $0 < m < 4$, ta liệt kê được các giá trị thỏa mãn là:

m \in \{1; 2; 3\}

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.