Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x + 2{({\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x)^3} - 3{\rm{sin}}2x + m\).

Câu hỏi số 751675:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x + 2{({\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x)^3} - 3{\rm{sin}}2x + m\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để \({f^2}\left( x \right) \le 36\forall x\) là?

A. 10

B. 13

C. 11

D. 12

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751675

Phương pháp giải

Đặt \(t = {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x\) đưa về hàm số phụ thuộc biến \(t\) và khảo sát hàm số đó

Giải chi tiết

Ta có \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x + 2{({\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x)^3} - 3{\rm{sin}}2x + m = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}2x + 2{({\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x)^3} - 3{\rm{sin}}2x + m\)

Đặt \(t = {\rm{sinx}} + {\rm{cos}}x,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow {t^2} = {({\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x)^2} \Leftrightarrow {t^2} = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 2{\rm{sin}}x{\rm{cos}}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1 + {\rm{sin}}2x\)

\( \Rightarrow {\rm{sin}}2x = {t^2} - 1\)

Khi đó ta được: \(1 - {\left( {{t^2} - 1} \right)^2} + 2{t^3} - 3\left( {{t^2} - 1} \right) + m = 1 - \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 2} \right) + 2{t^3} + m\)

Xét \(h\left( t \right) = 1 + 2{t^3} - \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 2} \right) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3\)

Ta có \({f^2}\left( x \right) \le 36,\forall x \Leftrightarrow \left| {h\left( t \right) + m} \right| \le 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h\left( t \right) + m \le 6}\\{h\left( t \right) + m \ge - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h\left( t \right) \le 6 - m}\\{h\left( t \right) \ge - 6 - m}\end{array}} \right.} \right.\)

Xét hàm số \(h\left( t \right) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

\(h'\left( t \right) = - 4{t^3} + 6{t^2} - 2t \Rightarrow h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{t = 1}\\{t = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Khi đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h\left( t \right) \le 6 - m}\\{h\left( t \right) \ge - 6 - m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]} h\left( t \right) \le 6 - m}\\{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]} h\left( t \right) \ge - 6 - m}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 \le 6 - m}\\{ - 3 + 4\sqrt 2 \ge - 6 - m}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 3}\\{m \ge - 3 - 4\sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.