Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn \({u_1}

Câu hỏi số 751750:

Vận dụng

Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn

\({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2024}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1012}}} \right)\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \log _3^2{u_2} + \log _3^2{u_5} + \log _3^2{u_{14}}\). (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751750

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng, tính chất của hàm logarit.

Giải chi tiết

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) và áp dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]n}}{2}\).

Giả thiết tương đương \(\dfrac{{\left[ {2{u_1} + 2023d} \right]2024}}{2} = 4\dfrac{{\left[ {2{u_1} + 1011d} \right]1012}}{2} \Leftrightarrow d = 2{u_1}\)

Ta có \(P = \log _3^2\left( {{u_1} + d} \right) + \log _3^2\left( {{u_1} + 4d} \right) + \log _3^2\left( {{u_1} + 13d} \right)\)\( = \log _3^2\left( {3{u_1}} \right) + \log _3^2\left( {9{u_1}} \right) + \log _3^2\left( {27{u_1}} \right)\)

\( = {\left( {1 + {{\log }_3}{u_1}} \right)^2} + {\left( {2 + {{\log }_3}{u_1}} \right)^2} + {\left( {3 + {{\log }_3}{u_1}} \right)^2}\).

Đặt \({\log _3}{u_1} = t\) ta có

\(P = {\left( {1 + t} \right)^2} + {\left( {2 + t} \right)^2} + {\left( {3 + t} \right)^2} = 3{t^2} + 12t + 14 = 3{\left( {t + 2} \right)^2} + 2 \ge 2\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(t = - 2\), nên \({\log _3}{u_1} = - 2 \Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow d = \dfrac{2}{9}\) (thỏa mãn).

Vậy GTNN của \(P\) bằng \(2\) khi \({u_1} = \dfrac{1}{9};\,\,d = \dfrac{2}{9}\).

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.