Chọn ngẫu nhiên ba số \(a,b,c\) trong tập hợp \(S = \left\{ {1;2;3;...;20} \right\}\). Biết

Câu hỏi số 751824:

Vận dụng

Chọn ngẫu nhiên ba số \(a,b,c\) trong tập hợp \(S = \left\{ {1;2;3;...;20} \right\}\). Biết xác suất để ba số tìm được thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) chia hết cho \(3\) là \(\dfrac{m}{n},\)với \(m,n\) là các số nguyên dương, phân số \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. Tính \(S = m + n\) . (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 127

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751824

Phương pháp giải

Tính xác suất

Giải chi tiết

Số cách lấy ngẫu nhiên \(3\) số từ tập hợp \(S\) là: \(C_{20}^3 = 1140\).

Ta chia thành \(3\) tập: Số chia hết cho \(3\), số chia \(3\) dư \(1\), số chia \(3\) dư \(2.\)

Số chia hết cho \(3:\) \(\left\{ {3;6;9;12;15;18} \right\}\)

Số chia \(3\) dư \(1:\) \(\left\{ {1;4;7;10;13;16;19} \right\}\)

Số chia \(3\) dư \(2:\) \(\left\{ {2;5;8;11;14;17;20} \right\}\)

Nếu

\(a \equiv 0\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {a^2} \equiv 0\left( {\bmod 3} \right),{\rm{ }}a \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {a^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right),{\rm{ }}a \equiv 2\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {a^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\)

Nên để \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)\) ta có các TH sau:

TH1: Lấy \(3\) số từ cùng một trong \(3\) tập trên: \(C_6^3 + C_7^3 + C_7^3 = 90\)

TH2: Lấy \(2\) số từ tập các số chia \(3\) dư \(1\) và một số từ tập các số chia \(3\) dư \(2\): \(C_7^2.C_7^1 = 147\)

TH3: Lấy \(2\) số từ tập các số chia \(3\) dư \(2\) và một số từ tập các số chia \(3\) dư \(1\): \(C_7^2.C_7^1 = 147\)

Vậy xác suất cần tính là: \(\dfrac{{147 + 147 + 90}}{{1140}} = \dfrac{{32}}{{95}} = \dfrac{m}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 32\\n = 95\end{array} \right. \Rightarrow m + n = 127.\)

Đáp án cần điền là: 127

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.