Tìm chiều dài \(L\)(m) ngắn nhất của cái thang để có thể tựa vào
Tìm chiều dài \(L\)(m) ngắn nhất của cái thang để có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}{\rm{ m}}\) và cột cách tường \(0,5{\rm{ m}}\). (nhập đáp án vào ô trống)
Đáp án đúng là: 4
Quảng cáo
Đặt \(\alpha = \widehat {ABC} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Dựa vào hình vẽ, ta có \(AB = AK + KB\)\( = \dfrac{{MK}}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{KH}}{{\sin \alpha }}\)\( = \dfrac{1}{{2\cos \alpha }} + \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{2\sin \alpha }}\).
Đặt \(f\left( \alpha \right) = \dfrac{1}{{2\cos \alpha }} + \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{2\sin \alpha }}\). Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\min }\limits_{\alpha \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} f\left( \alpha \right)\) với \(\alpha \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Ta có \(f'\left( \alpha \right) = \dfrac{{\sin \alpha }}{{2{{\cos }^2}\alpha }} + \dfrac{{ - 3\sqrt 3 {\rm{.cos}}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha }}\)\( = \dfrac{{{{\sin }^3}\alpha - 3\sqrt 3 {\rm{.co}}{{\rm{s}}^3}\alpha }}{{2{{\cos }^2}\alpha .{{\sin }^2}\alpha }}\).
\(f'\left( \alpha \right) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^3}\alpha - 3\sqrt 3 {\rm{.co}}{{\rm{s}}^3}\alpha = 0\)\( \Leftrightarrow {\tan ^3}\alpha = 3\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \tan \alpha = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \alpha = \dfrac{\pi }{3} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Bảng biến thiên:
Vậy \(A{B_{\min }} = \mathop {\min }\limits_{\alpha \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} f\left( \alpha \right)\)\( = f\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = 4\left( {\rm{m}} \right)\).
Đáp án cần điền là: 4
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
