Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 4}}{3} = \dfrac{{y -

Câu hỏi số 752078:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 4}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 5}}{{ - 2}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{3} = \dfrac{z}{1}\). Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) có phương trình

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + y - z = 0\).

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 2z = 0\).

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0\).

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - y + z = 0\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:752078

Phương pháp giải

Xác định phương trình mặt cầu có tâm là trung điểm của hai giao điểm với đường thẳng.

Giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3\,;\, - 1\,;\, - 2} \right)\,;\,\overrightarrow {{u_2}} \left( {1\,;\,3\,;\,1} \right)\) lần lượt là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của \(d_1\) và \(d_2\) là đường kính.

Gọi \(A\left( {4 + 3a\,;\,1 - a\,;\, - 5 - 2a} \right) \in {d_1}\) và \(B\left( {2 + b\,;\, - 3 + 3b\,;\,b} \right) \in {d_2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {b - 3a - 2\,;\,3b + a - 4\,;\,b + 2a + 5} \right)\).

\(AB\) là đoạn vuông góc chung của \(d_1\) và \(d_2\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7a + b + 6 = 0\\2a + 11b - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(A\left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right);\,B\left( {3\,;\,0\,;\,1} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right)\) là trung điểm của \(AB\), có bán kính \(R = IA = \sqrt 6 \).

Vậy phương trình \(\left( S \right)\):\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.