Hai thành phố \(A\) và \(B\) cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một

Câu hỏi số 755379:

Vận dụng

Hai thành phố \(A\) và \(B\) cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu \(EF\) bắc qua sông biết rằng thành phố \(A\) cách con sông một khoảng là \(5km\) và thành phố \(B\) cách con sông một khoảng là \(7km\) (tham khảo hình vẽ), biết \(HE + KF = 24km\) và độ dài \(EF\) không đổi.

Hỏi xây cây cầu cách thành phố \(B\) là bao nhiêu để đường đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) là ngắn nhất (đi theo đường \(AEFB\)) ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:755379

Giải chi tiết

Đặt \(HE = x \Rightarrow KF = 24 - x\). Khi đó

\(AE = \sqrt {25 + {x^2}}\); \(BF = \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} \).

Quãng đường đi ừ thành phố A đến thành phố B là \(S = AE + EF + BF.\)

Vì độ dài \(EF\) không đổi nên quãng đường \(S\) ngắn nhất khi \(AE + BF\) là nhỏ nhất.

Ta có: \(AE + BF = \sqrt {25 + {x^2}} + \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} .\)

Đặt \(\vec u = \left( {5;x} \right);\vec v = \left( {7;24 - x} \right).\;\)

Vì \(\left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \ge \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right|\)

\(\Rightarrow \sqrt {25 + {x^2}} + \sqrt {49 + (24 - {x^2})} \ge \sqrt {{{(5 + 7)}^2} + {{(x + 24 - x)}^2}} = 12\sqrt 5\)

Suy ra quãng đường ngắn nhất bằng \(12\sqrt 5 + EF\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) cùng phương

\( \Rightarrow \dfrac{5}{7} = \dfrac{x}{{24 - x}} \Rightarrow x = 10 \Rightarrow BF = 7\sqrt 5 \approx 15,7\).

Đáp án cần điền là: 15,7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.