Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong một cuộc thi thể thao về môn bắn súng. Các vận động viên phải thực

Câu hỏi số 755804:
Vận dụng

Trong một cuộc thi thể thao về môn bắn súng. Các vận động viên phải thực hiện bắn hạ mục tiêu đang di động trên mặt đất của khối cầu đặc có bán kính bằng 1m. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trong không gian có gốc \(O\) đặt tại vị trí xạ thủ A ngắm bắn, xem mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt đất, đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1m. Biết khối cầu có tâm \(I\left( {7;24;3} \right)\) và xem đường đi của viên đạn là một đường thẳng.

Đúng Sai
a) Vị trí xa nhất để xạ thủ A nhìn thấy và ngắm bắn mục tiêu là 25,2m (làm tròn đến hàng phần mười)
b) Biết vận tốc viên đạn là \(\dfrac{{54}}{5}\sqrt {65} \left( {km/h} \right)\) thì khoảng thời gian ngắn nhất để xạ thủ A bắn trúng mục tiêu chưa tới 1s
c) Để các xạ thủ có thể dễ dàng bắn trúng mục tiêu hơn, ban tổ chức đã quyết định cho mục tiêu di chuyển trên đường tròn lớn nhất của mặt cầu và song song với mặt đất. Khi đó khoảng cách ngắn nhất từ vị trí xạ thủ A ngắm bắn đến mục tiêu là \(3\sqrt {65} \left( m \right)\)
d) Xạ thủ A đang ngắm ở vị trí gần mục tiêu nhất. Tại thời điểm tuyển thủ A nổ súng thì mục tiêu đang ở vị trí \(M\left( {6;24;3} \right)\) di chuyển với vận tốc \(v = \arctan \left( {\dfrac{{24}}{7}} \right)\,\,\left( {m/s} \right)\) và đi ngược chiều kim đồng hồ. Khi đó xạ thủ A bắn trúng mục tiêu.   

Đáp án đúng là: Đ; Đ; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:755804
Phương pháp giải

a) Vị trí xa nhất là OM

b) Gần nhất khi \(AN = AI - IN = OI - R\)

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(I\left( {7;24;3} \right)\) và song song với \(\left( {Oxy} \right)\). Gọi \(P\) là vị trí mà tại đó mục tiêu ở vị trí gần nhất

Ta có: \(IP = R \Leftrightarrow I{P^2} = {R^2}\) từ đó tìm tọa độ P.

d) Tìm tọa độ M. Xạ thủ A đang ngắm ở điểm \(P\left( {6,72;23,04;3} \right)\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(MP\). Từ đó tìm thời gian mục tiêu di chuyển từ \(M\) đến \(P\) và mục tiêu đi từ \(O\) đến \(P\) và so sánh nếu bằng nhau thì bắn trúng mục tiêu.

Giải chi tiết

a) Gọi \(M\) là điểm mà tại đó mục tiêu ở vị trí xa nhất. Khi đó M là hình chiếu của I xuống (Oxy)

Do M nằm trên mặt đất nên M là hình chiếu của I xuống (Oxy)

Ta có: \(AM = OM = \sqrt {O{I^2} - I{M^2}}  = \sqrt {{7^2} + {{24}^2} + {3^2} - {{1}^2}}  = \sqrt {633}  \approx 25,2\left( m \right)\)

b) Gọi \(N\) là điểm mà tại đó mục tiêu ở vị trí gần nhất. Khi đó N là giao của AI với mặt cầu

Ta có: \(AN = AI - IN = OI - R = \sqrt {{7^2} + {{24}^2} + {3^2}}  - 1 = \sqrt {634}  - 1\left( m \right)\)

Vậy thời gian ngắn nhất để xạ thủ A bắn trúng mục tiêu là \(t = \dfrac{{AN}}{v} = \dfrac{{\sqrt {634}  - 1}}{{\dfrac{{54}}{5}\sqrt {65} :3,6}} \approx 0,9997\,\,\left( s \right)\)

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(I\left( {7;24;3} \right)\) và song song với \(\left( {Oxy} \right)\) nên có VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {0;0;1} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(0\left( {x - 7} \right) + 0\left( {y - 24} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( \alpha  \right):\,\,z - 3 = 0\)

Gọi \(P\) là vị trí mà tại đó mục tiêu ở vị trí gần nhất

Vì \(P \in \left( \alpha  \right)\) nên \(P\left( {{x_P};{y_P};3} \right)\)

Ta có: \(IP = R \Leftrightarrow I{P^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {{x_P} - 7} \right)^2} + {\left( {{y_P} - 24} \right)^2} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_P^2 - 14{x_P} + 49 + y_P^2 - 48{y_P} + 576 = 1\\ \Leftrightarrow x_P^2 + y_P^2 = 14{x_P} + 48{y_P} - 624\end{array}\)

Lại có: \(x_P^2 + y_P^2 = 14{x_P} + 48{y_P} - 624 \le \sqrt {\left( {{{14}^2} + {{48}^2}} \right)\left( {x_P^2 + y_P^2} \right)}  - 624\) (BĐT Bunyakovski)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow t \le 50\sqrt t  - 624\,\,\left( {t = x_P^2 + y_P^2} \right)\\ \Leftrightarrow t + 624 \le 50\sqrt t \\ \Leftrightarrow {\left( {t + 624} \right)^2} \le 2500t\\ \Leftrightarrow {t^2} + 1248t + 389376 - 2500t \le 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 1252t + 389376 \le 0\\ \Leftrightarrow 576 \le t \le 676\\ \Rightarrow 576 \le x_P^2 + y_P^2 \le 676\end{array}\)

Khi đó \(OP = \sqrt {x_P^2 + y_P^2 + {3^2}}  \ge \sqrt {576 + {3^2}}  = 3\sqrt {65} \,\,\left( m \right)\)

d) Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{x_P}}}{{14}} = \dfrac{{{y_P}}}{{48}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{14}^2}}}x_M^2 - \dfrac{1}{{{{48}^2}}}y_M^2 = 0\)

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{{14}^2}}}x_P^2 - \dfrac{1}{{{{48}^2}}}y_P^2 = 0\\x_P^2 + y_P^2 = 576\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_P^2 = \dfrac{{28224}}{{625}}\\y_P^2 = 530,8416\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_P} = 6,72\\{y_P} = 23,04\end{array} \right.\)

Khi đó xạ thủ A đang ngắm ở điểm \(P\left( {6,72;23,04;3} \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(MP\)

Khi đó \(H\left( {6,36;23,52;3} \right)\)

\(IH = \sqrt {{{\left( {6,36 - 7} \right)}^2} + {{\left( {23,52 - 24} \right)}^2} + {{\left( {3 - 3} \right)}^2}}  = 0,8\)

\(\tan \angle HIM = \dfrac{{HM}}{{IH}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {6 - 6,36} \right)}^2} + {{\left( {24 - 23,52} \right)}^2} + {{\left( {3 - 3} \right)}^2}} }}{{0,8}} = 0,75\)

\(\tan \angle MIP = \tan \left( {2.\angle HIM} \right) = \dfrac{{2\tan \angle HIM}}{{1 - {{\tan }^2}\angle HIM}} = \dfrac{{2.0,75}}{{1 - 0,{{75}^2}}} = \dfrac{{24}}{7} \Rightarrow \angle HIP = \arctan \left( {\dfrac{{24}}{7}} \right)\)

Bán kính mặt cầu bằng 1 nên độ dài cung mà M di chuyển đến P là \(\arctan \left( {\dfrac{{24}}{7}}\right)\)

Thời gian mục tiêu di chuyển từ \(M\) đến \(P\) là \(\dfrac{{\arctan \left( {\dfrac{{24}}{7}} \right)}}{{\arctan \left( {\dfrac{{24}}{7}} \right)}} = 1\left( s \right)\)

Thời gian mục tiêu đi từ \(O\) đến \(P\) là \(\dfrac{{3\sqrt {65} }}{{\dfrac{{54}}{5}\sqrt {65} :3,6}} = 1\,\,\left( s \right)\)

Vậy xạ thủ A bắn trúng mục tiêu

Đáp án: a đúng| b đúng| c đúng| d đúng

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn