Một nhóm các kỹ sư muốn xây dựng một cây cầu vòm dàn thép

Câu hỏi số 755807:

Thông hiểu

Một nhóm các kỹ sư muốn xây dựng một cây cầu vòm dàn thép với giá đỡ dưới bằng thép cao cấp có hình dáng là một đường cong Parabol nối từ 2 cột trụ \(A\) và \(B\) nằm bên dưới cây cầu, biết hai cột trụ cách nhau \(400m\), khoảng cách từ trụ \(A\) đến cây cầu là \(50m\) và \(AB\) song song với mặt đường.

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) vào cây cầu với đơn vị trục tọa độ là \(10m\). Giá đỡ dưới bằng thép là đường cong Parabol tạo với 2 trục tọa độ các hình phẳng có diện tích \({S_1},\,\,{S_2}\) như hình vẽ bên, biết rằng \({S_2} - 2{S_1} = \dfrac{{2200}}{{21}}\). Điểm cao nhất của giá đỡ dưới bằng thép cao cấp cách mặt đường cây cầu bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:755807

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ, gọi hàm số từ đó sử dụng tích phân tìm các hệ số của hàm số.

Giải chi tiết

Parabol là \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Parabol đi qua \(\left( {0; - 5} \right),\,\,\left( {40, - 5} \right)\) nên

\(f\left( 0 \right) = - 5 \Rightarrow c = - 5\,\,\left( 1 \right)\)

\(f\left( {40} \right) = - 5 \Rightarrow 1600a + 40b + c = - 5\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_2} - 2{S_1} = {S_2} - \left( {{S_{OABC}} - {S_3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {S_2} - {S_{OABC}} + {S_3} = \left( {{S_2} + {S_3}} \right) - {S_{OABC}}\\ = \int\limits_0^{40} {\left( {a{x^2} + bx + c + 5} \right)dx} - 5.40\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \left. {\left( {a.\dfrac{{{x^3}}}{3} + b.\dfrac{{{x^2}}}{2} + \left( {c + 5} \right)x} \right)} \right|_0^{40} - 200\\ = \left( {a.\dfrac{{{{40}^3}}}{3} + b.\dfrac{{{{40}^2}}}{2} + \left( {c + 5} \right).40} \right) - 200\\ = \dfrac{{{{40}^3}}}{3}a + \dfrac{{{{40}^2}}}{2}b + 40c\end{array}\)

Từ giả thiết suy ra \(\dfrac{{{{40}^3}}}{3}a + \dfrac{{{{40}^2}}}{2}b + 40c = \dfrac{{2200}}{{21}}\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{{35}}\\b = \dfrac{8}{7}\\c = - 5\end{array} \right.\)

Parabol: \(y = \dfrac{{ - 1}}{{35}}{x^2} + \dfrac{8}{7}x - 5\)

Hoành độ của đỉnh parabol là \({x_I} = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{\dfrac{8}{7}}}{{2.\left( { - \dfrac{1}{{35}}} \right)}} = 20\)

Tung độ của đỉnh parabol là \({y_I} = - \dfrac{1}{{35}}{.20^2} + \dfrac{8}{7}.20 - 5 = \dfrac{{45}}{7}\)

Điểm cao nhất của giá đỡ dưới bằng thép cao cấp cách mặt đường cây cầu là \(10.\dfrac{{45}}{7} \approx 64,3\left( m \right)\)

Đáp án: \(64,3\)

Đáp án cần điền là: 64,3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.