Một cơ sở sản xuất kem làm một mô hình Kem ốc quế lớn gồm 2 phần: Phần Kem

Câu hỏi số 755810:

Vận dụng

Một cơ sở sản xuất kem làm một mô hình Kem ốc quế lớn gồm 2 phần: Phần Kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón (như hình vẽ bên). Chủ cơ sở sản xuất muốn gắn một chiếc đèn Led lớn chiếu thẳng cây kem vào buổi tối, biết rằng chiếc đèn nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( C \right)\) là phần tiếp xúc giữa phần Kem và phần ốc quế. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trong không gian thỏa mãn phần Kem có hình cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \({R_C} = 3\) và phần đỉnh của hình nón là điểm \(H\left( {0;1; - 2} \right)\) đáy là đường tròn có bán kính \({R_N} = \sqrt 6 \). Để tối ưu hóa lượng ánh sáng chiếc đèn có thể chiếu vào cây kem người ta tính toán rằng chiếc đèn Led sẽ phải ở vị trí \(M\left( {a;b;2} \right),\,\,a \in \mathbb{Z}\) và từ điểm \(M\) kẻ được 2 tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó không bé hơn \(60^\circ \). Có bao nhiêu vị trí đã đặt chiếc đèn Led thỏa mãn yêu cầu của chủ cơ sở.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:755810

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}OI = \sqrt {R_C^2 - R_N^2} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \\IH = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 \\\dfrac{{IO}}{{IH}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{3\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {IO} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {IH} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = - \dfrac{1}{3}\\{y_0} - 2 = - \dfrac{1}{3}\\{z_0} - 3 = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{2}{3}\\{y_0} = \dfrac{5}{3}\\{z_0} = \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow O\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3}} \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) đi qua điểm \(O\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3}} \right)\) và có VTPT \(\vec n = \overrightarrow {HI} = \left( {1;1;5} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\): \(1\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right) + 1\left( {y - \dfrac{5}{3}} \right) + 5\left( {z - \dfrac{4}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 5z - 9 = 0\)

Vì \(M \in \left( {MAB} \right)\) nên \(a + b + 5.2 - 9 = 0 \Leftrightarrow a + b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = - a - 1\)

Khi đó \(OM = \sqrt {{{\left( {a - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {b - \dfrac{5}{3}} \right)}^2} + {{\left( {2 - \dfrac{4}{3}} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{\left( {a - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {a + \dfrac{8}{3}} \right)}^2} + {{\left( {2 - \dfrac{4}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {2{a^2} + 4a + 8} \)

Ta có: \(\angle AOM = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{1}{2}\left( {180^\circ - \angle AMB} \right)\)

\( = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\angle AMB \le 90^\circ - \dfrac{1}{2}.60^\circ = 60^\circ \)

Vì \(0^\circ < \angle AOM \le 60^\circ \) nên \(\cos 0^\circ > \cos \angle AOM \ge \cos 60^\circ \Rightarrow 1 > \cos \angle AOM \ge \dfrac{1}{2}\,\,\left( 1 \right)\)

\(\cos \angle AOM = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {2{a^2} + 4a + 8} }}\, = \sqrt {\dfrac{3}{{{a^2} + 2a + 4}}} \,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{1}{2} \le \sqrt {\dfrac{3}{{{a^2} + 2a + 4}}} < 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \le \dfrac{3}{{{a^2} + 2a + 4}} < 1 \Leftrightarrow 3 < {a^2} + 2a + 4 \le 12\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 2a - 8 \le 0\\{a^2} + 2a + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le a \le 2\\a \ne - 1\end{array} \right.\)

Vì \(a\) nguyên nên \(a \in \left\{ { - 4; - 3; - 2;0;1;2} \right\}\)

Vậy có 6 vị trí để đặt đèn thỏa mãn

Đáp án: \(6\)

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.