Cho hai số thực dương \(x, y\) thỏa mãn \(2^y+y=2 x+\log _2\left(x+2^{y-1}\right)\). Giá trị
Cho hai số thực dương \(x, y\) thỏa mãn \(2^y+y=2 x+\log _2\left(x+2^{y-1}\right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\dfrac{x}{y}\) bằng bao nhiêu, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm?
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Có \(2^y+y=2 x+\log _2\left(x+2^{y-1}\right)\)
\(\Leftrightarrow 2^y+y=2 x+\log _2\left(2 x+2^y\right)-1\)
Đặt \(t=\log _2\left(2 x+2^y\right) \Rightarrow 2 x+2^y=2^t \Rightarrow 2 x=2^t-2^y\).
(1) trở thành: \(2^y+y=2^t-2^y+t-1 \Leftrightarrow 2^{y+1}+y+1=2^t+t \quad\) (2).
Xét hàm số \(f(u)=2^u+u, \forall x>0\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(u)=2^u \ln 2+1>0, \forall u>0\)
Suy ra hàm số \(f(x)=2^x+x\) luôn đồng biến trên \((0 ;+\infty)\).
Ta có (2) \(\Leftrightarrow f(y+1)=f(t) \Leftrightarrow y+1=t\)
\(\Rightarrow y+1=\log _2\left(2 x+2^y\right) \Leftrightarrow 2^{y+1}=2 x+2^y \Leftrightarrow x=2^{y-1}\)
Khi đó \(P=\dfrac{x}{y}=\dfrac{2^{y-1}}{y} \Rightarrow P^{\prime}=\dfrac{2^{y-1} y \ln 2-2^{y-1}}{y^2}\).
Suy ra \(P^{\prime}=0 \Leftrightarrow y \ln 2-1=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{\ln 2}\).
Bảng biến thiên:
Vậy \(P_{\min }=\dfrac{e \ln 2}{2} \approx 0,94\) khi \(x=\dfrac{e}{2}\) và \(y=\dfrac{1}{\ln 2}\).
Đáp án cần điền là: 0,94
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
