Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo

Câu hỏi số 756011:

Vận dụng

Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba \(f(x)\). Đơn vị trên hệ trục là \(100m\) Vị trí điểm cực đại là \(\left( {2;5} \right)\), vị trí điểm cực tiểu là \(\left( {0;1} \right)\). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình \(y = 36 - 9x\). Người ta muốn làm một cây cầu có dạng là một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần trục)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:756011

Phương pháp giải

Viết phương trình hàm bậc ba.

Tính khoảng cách từ điểm thuộc đồ thị hàm số đến đường thẳng.

Giải chi tiết

Đồ thị của hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có điểm cực đại là \(\left( {2;5} \right)\) và vị trí điểm cực tiểu là \(\left( {0;1} \right)\)

Suy ra hàm số: \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 1.\)

Gọi \(M\;\) một điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Ta có \(M\left( {a; - {a^3} + 3{a^2} + 1} \right)\;(a > 0).\)

Khi đó độ dài của cây cầu nối từ hòn đảo ra mặt đường là khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\)

Do đó để độ dài của cây cầu là ngắn nhất thì khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\) là ngắn nhất. Khi đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với \(y = 36 - 9x\)

Giả sử \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right),2 < {x_0} < 4\) thì \(y'\left( {{x_0}} \right) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_0^2 + 6{x_0} = - 9 \Leftrightarrow {x_0} = 3\)

\( \Rightarrow M\left( {3,1} \right) \Rightarrow d\left( {M,y = 36 - 9x} \right) = \dfrac{{\left| { - 9.3 - 1 + 36} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} = 0,88345 \approx 88,3m\)

Đáp án cần điền là: 88,3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.