Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc

Câu hỏi số 756420:

Vận dụng

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 300m về phía Nam và 100m về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 100m . Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 200m về phía Bắc và 100m về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 50m . Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:756420

Giải chi tiết

Chọn hệ trục \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía Nam, trục \(Oy\) hướng về phía Đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét.

Gọi A, B, M lần lượt là vị trí của khinh khí cầu thứ nhất, khinh khí cầu thứ hai và người quan sát.

Khi đó \(A(300 ; 100 ; 100), B(-200 ;-100 ; 50), M(a ; b ; 0)\)

Gọi \(B^{\prime}\) là điểm đối xứng của \(B\) qua mặt phẳng \((Oxy)\).

Suy ra \(B^{\prime}(-200 ;-100 ;-50)\)

Ta có \(M A+M B=M A+M B^{\prime} \geq A B^{\prime}\)

Do đó \(M A+M B\) nhỏ nhất khi bằng \(A B^{\prime}\) hay \(M\) là giao điểm của \(A B^{\prime}\) với mặt phẳng \((O x y)\).

Suy ra \(A, B^{\prime}, M\) thẳng hàng hay \(\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{A B^{\prime}}\) cùng phương

Có \(\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A M}=(a-300 ; b-100 ;-100) \\ \overrightarrow{A B^{\prime}}(-500 ;-200 ;-150)\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow \dfrac{a-300}{-500}=\dfrac{b-100}{-200}=\dfrac{-100}{-150}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-\dfrac{100}{3} \\ b=-\dfrac{100}{3}\end{array}\right.\)

Suy ra \(M\left(-\dfrac{100}{3} ;-\dfrac{100}{3} ; 0\right)\)

Vậy khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu là:

\(OM=\dfrac{100 \sqrt{2}}{3} \approx 47\).

Đáp án cần điền là: 47

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.