Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có \(B(3;0;8)\),

Câu hỏi số 756748:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có \(B(3;0;8)\), \(D( - 5; - 4;0)\). Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) và có tọa độ là những số nguyên, điểm \(M(x;y;z)\) thuộc đường thẳng CD sao cho \(|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} |\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(x - y + z\).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:756748

Giải chi tiết

Gọi O là trung điểm đường chéo BD, có

\(O = \left(\dfrac{-2}{2},\, \dfrac{-4}{2},\, \dfrac{8}{2}\right) = (-1, -2, 4).\)

Giả sử \(A=(a,b,0)\). Khi đó, vì O là trung điểm của AC nên \(C(-2-a;-4-b;8)\).

\(\overrightarrow{OA}(a+1,\, b+2,\, -4)\) và \(\overrightarrow{OB}(4,2,4).\)

Vì 2 đường chéo vuông góc nên:

\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 \Rightarrow 4(a+1) + 2(b+2) - 16 = 0\)

\(4a + 4 + 2b + 4 - 16 = 0 \Rightarrow 4a + 2b - 8 = 0 \Rightarrow \quad 2a + b = 4\)

Độ dài \(\overrightarrow{OA}\) bằng nửa đường chéo của hình vuông.

Ta có: \(|BD| = \sqrt{(3-(-5))^2+(0-(-4))^2+(8-0)^2} = \sqrt{8^2+4^2+8^2} = 12\)

Nên \(|\overrightarrow{OA}| = \dfrac{12}{2} = 6.\)

Do đó: \((a+1)^2 + (b+2)^2 + (-4)^2 = 36 \Rightarrow (a+1)^2 + (b+2)^2 = 20.\)

Ta cần a,b nguyên thỏa \(2a+b=4\) và \((a+1)^2+(b+2)^2=20\)

Dễ nhận thấy \(a=1\) và \(b=2\) thỏa mãn

Vậy \(A=(1,2,0)\). Suy ra \(C(-3,-6,8). \)

Ta có các đỉnh: \(A=(1,2,0),B=(3,0,8),C=(−3,−6,8),D=(−5,−4,0).\)

Tìm điểm \(M(x,y,z)\) thuộc đường thẳng CD sao cho \(|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Có \(\overrightarrow{CD}(-2,\, 2,\, -8)\)

Điểm M thuộc đường thẳng CD, nên \(M(-3-2t,\; -6+2t,\; 8-8t), t\in\mathbb{R}.\)

Có \(\overrightarrow{MA}(4+2t,\, 8-2t,\, 8t-8).\)

\(\overrightarrow{MB}(6+2t,\, 6-2t,\, 8t). \)

Suy ra \(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\)

\( = \Big[(4+2t)+2(6+2t),\; (8-2t)+2(6-2t),\; (8t-8)+2.8t\Big]\) \(=(16+6t,\,20-6t,\,24t-8). \)

Xét hàm số: \(f(t)=(16+6t)^2+(20−6t)^2+(24t−8)^2 = 720 -432t + 648t^2\).

Hàm \(f(t)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t=\dfrac{1}{3}\)

Suy ra \(M \Big(-\dfrac{11}{3},\; -\dfrac{16}{3},\; \dfrac{16}{3}\Big).\)

Vậy \(x-y+z=7.\)

Đáp án cần điền là: 7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.