Có bao nhiêu cấp số cộng có ít nhất 20 số hạng thỏa mãn các số

Câu hỏi số 757291:

Vận dụng

Có bao nhiêu cấp số cộng có ít nhất 20 số hạng thỏa mãn các số hạng của cấp số cộng là các số tự nhiên, công sai của cấp số cộng bằng 2 và tổng tất cả các số hạng bằng 6300?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:757291

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng

Giải chi tiết

Theo đề bài, ta xét cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(n \ge 20;d = 2;{u_1} \in \mathbb{N}.\)

Vì tổng tất cả số hạng bằng 6300, nên:

\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = 6300 \Rightarrow \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} = 6300\)

Mà \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = {u_1} + 2\left( {n - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_1} + 2\left( {n - 1} \right)} \right).n}}{2} = 6300 \Rightarrow \left( {{u_1} + n - 1} \right)n = 6300.\)

- Xét \({u_1} = 0 \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 6300\) (loại vì \(n \ge 20\))

- Xét \({u_1} = 1 \Rightarrow {n^2} = 6300\) (loại vì \(n \in \mathbb{N}\))

- Xét \({u_1} \ge 2 \Rightarrow {u_1} + n - 1 > n \Rightarrow {n^2} < 6300 \Rightarrow n \le 79.\)

Suy ra \(n \in \left[ {20;79} \right];n \in \mathbb{N}.\) Ta có:

\(\left( {{u_1} + n - 1} \right).n = 6300\)\( \Leftrightarrow {u_1} + n - 1 = \dfrac{{6300}}{n} > n \Rightarrow {u_1} - 1 > 0\) và \(6300 \vdots n\)

Số cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán là số ước thuộc đoạn \(\left[ {20;79} \right]\) của 6300.

\(n = \left\{ {20;21;25;28;30;35;36;42;45;50;60;63;70;75} \right\}\)

Vậy có 14 cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: 14

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.