Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng chéo nhau \(d:\dfrac{{x -

Câu hỏi số 758492:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng chéo nhau \(d:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{{z + 4}}{{ - 5}}\) và \(d':\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 1}}\). Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(\left( d \right),\,\left( {d'} \right)\) có tâm \(I\left( {a,b,c} \right)\). Khi đó \(a + b + c\) bằng_____

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758492

Phương pháp giải

Gọi \(M \in d,N \in d' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot d\\MN \bot d'\end{array} \right.\) từ đó tìm M, N

Giải chi tiết

Đáp số: 4

Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2\,;3\,; - 5} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3\,; - 2\,; - 1} \right)\).

Gọi \(M \in d \Rightarrow \)\(M\left( {2 + 2m;3 + 3m; - 4 - 5m} \right)\) và \(N \in d' \Rightarrow \)\(N\left( { - 1 + 3n;4 - 2n;4 - n} \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 3 + 3n - 2m\,;\,1 - 2n - 3m;8 - n + 5m} \right)\).

\(MN\) là đường vuông góc chung của \(d\)và \(d'\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot d\\MN \bot d'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 3 + 3n - 2m} \right) + 3.\left( {1 - 2n - 3m} \right) - 5\left( {8 - n + 5m} \right) = 0\\3\left( { - 3 + 3n - 2m} \right) - 2.\left( {1 - 2n - 3m} \right) - 1\left( {8 - n + 5m} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 38m + 5n = 43\\ - 5m + 14n = 19\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(M\left( {0;0;1} \right)\), \(N\left( {2;2;3} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của suy ra \(I\left( {1;\,1;\,2} \right)\) và \(IM = IN = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).

Khi đó mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt 3 \) tiếp xúc với hai đường thẳng \(d,\,\,d'\)lần lượt tại \(M\) và \(N\)

Do \(MN\) là khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d,\,\,d'\) nên mặt cầu đường kính \(MN\) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với hai đường thẳng \(d,\,\,d'\).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\).

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.