Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} -

Câu hỏi số 758493:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z - 3 = 0\) và điểm \(A\left( {5;3; - 2} \right)\). Một đường thẳng \(d\) thay đổi luôn đi qua \(A\) và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt \(M,N\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = AM + 4AN\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 20,15

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758493

Phương pháp giải

Xét vị trí tương đối của A và mặt cầu. Do hai điểm \(M,N\) nằm ở vị trí hai đầu một dây cung nên để \({S_{\min }}\) thì \(N\) nằm giữa \(A\) và \(M\).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1;1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

\(AI = \sqrt {34} > R \Rightarrow \) \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Do hai điểm \(M,N\) nằm ở vị trí hai đầu một dây cung nên để \({S_{\min }}\) thì \(N\) nằm giữa \(A\) và \(M\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(MN\) \( \Rightarrow IH \bot MN,NH = \dfrac{1}{2}MN\).

\(S = 4\left( {AH - NH} \right) + AH + NH = 5AH - 3NH\)

\(S = 5\sqrt {A{I^2} - I{H^2}} - 3\sqrt {{R^2} - I{H^2}} = 5\sqrt {34 - {x^2}} - 3\sqrt {9 - {x^2}} ,x = IH\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 5\sqrt {34 - {x^2}} - 3\sqrt {9 - {x^2}} ,\left( {0 \le x < 3} \right)\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 5x}}{{\sqrt {34 - {x^2}} }} + \dfrac{{3x}}{{\sqrt {{3^2} - {x^2}} }} = x\left( {\dfrac{{ - 5}}{{\sqrt {34 - {x^2}} }} + \dfrac{3}{{\sqrt {{3^2} - {x^2}} }}} \right)\).

Xét \(\left( {\dfrac{{ - 5}}{{\sqrt {34 - {x^2}} }} + \dfrac{3}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 5\sqrt {9 - {x^2}} < 3\sqrt {34 - {x^2}} \)

\( \Leftrightarrow 225 - 25{x^2} < 9.34 - 9{x^2} \Leftrightarrow 16{x^2} + 81 > 0\)(luôn đúng).

Suy ra \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right),f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;3} \right)\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 5\sqrt {34} - 9 \approx 20,15\)

Đáp án cần điền là: 20,15

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.