Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}}

Câu hỏi số 758502:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\): \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {0,0,\dfrac{{21}}{2}} \right)\), bán kính \({r_1} = 6\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {0,0,1} \right)\), bán kính \({r_2} = \dfrac{9}{2}\). Hỏi có bao nhiêu điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) với \(x,y,z\) nguyên thuộc phần giao của hai khối cầu?

A. 11.

B. 13.

C. 9.

D. 7.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758502

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình hai mặt cầu tìm các tọa độ thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có phương trình mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - \dfrac{{21}}{2}} \right)^2} = 36\).

Và phương trình mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \dfrac{{81}}{4}\).

Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) thuộc giao của hai khối cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) nên toạ độ điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {\left( {z - \dfrac{{21}}{2}} \right)^2} \le 36\\{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} \le \dfrac{{81}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} \le \dfrac{{81}}{4}\\z = 5\end{array} \right.\).

Từ đó suy ra \({x^2} + {y^2} + {\left( {5 - 1} \right)^2} \le \dfrac{{81}}{4} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le \dfrac{{17}}{4}\).

Do \(x,y \in \mathbb{Z}\) và \({x^2} + {y^2} \le \dfrac{{17}}{4}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \pm 1\end{array} \right.\); \(\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = 0\end{array} \right.\);\(\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = \pm 1\end{array} \right.\);\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \pm 2\end{array} \right.\);\(\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\\y = 0\end{array} \right.\); \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\).

Vậy có 13 điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) với \(x,y,z\) nguyên thuộc phần giao của hai khối cầu.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.