Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;5;2} \right)\) và \(B\left( {5;13;10} \right)\). Có bao

Câu hỏi số 758503:

Thông hiểu

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;5;2} \right)\) và \(B\left( {5;13;10} \right)\). Có bao nhiêu điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) với \(a,b,c\) là các số nguyên sao cho có mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A,B\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)?

A. \(10\).

B. \(6\).

C. \(8\).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758503

Phương pháp giải

Viết mặt phẳng trung trực của AB. Khi đó tâm I thuộc mặt phẳng trung trực.

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;8;8} \right) \Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 5 + 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M\left( {3;9;6} \right) \Rightarrow \) Mặt phẳng trung trực của \(AB\) là

\(\left( \alpha \right):x - 3 + 2\left( {y - 9} \right) + 2\left( {z - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 33 = 0\).

\(I \in \left( \alpha \right) \Rightarrow a + 2b + 2c - 33 = 0 \Leftrightarrow a = 33 - 2b - 2c \Rightarrow a\) là số nguyên lẻ.

Gọi \(J = AB \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow J\left( {0;3;0} \right) \Rightarrow JA = 3\,,\,JB = 15\).

Gọi \(C\) là tiếp điểm của mặt cầu và \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow C\left( {a;b;0} \right)\).

Ta có: \(JA.JB = J{C^2} \Rightarrow J{C^2} = 45 \Rightarrow C\) thuộc đường tròn tâm \(\left( {J,\,3\sqrt 5 } \right)\).

Xét trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), phương trình của \(\left( {J,\,3\sqrt 5 } \right)\): \({a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 45 \Rightarrow {a^2} \le 45\).

Do \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) và \(a\) lẻ nên ta có: \({a^2} = 1 \Rightarrow {\left( {b - 3} \right)^2} = 44\) (loại);

\({a^2} = 9 \Rightarrow {\left( {b - 3} \right)^2} = 36\) (thỏa mãn); \({a^2} = 25 \Rightarrow {\left( {b - 3} \right)^2} = 20\) (loại).

Vậy có \(4\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.