Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x - y + 2z -

Câu hỏi số 758507:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x - y + 2z - 14 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Lấy \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là lớn nhất. Giá trị của biểu thức \(K = a + b + c\) là

Đáp án:

Đáp án đúng là: -5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758507

Phương pháp giải

Điểm thuộc mặt cầu có khoảng cách nhỏ nhất hoặc lớn nhất tới mặt phẳng \(\left( P \right)\) là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {2.1 - \left( { - 2} \right) + 2.\left( { - 1} \right) - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }}\)\( = 4 > R\).

Suy ra mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) không có điểm chung.

Từ đó, điểm thuộc mặt cầu có khoảng cách nhỏ nhất hoặc lớn nhất tới mặt phẳng \(\left( P \right)\) là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Trước hết ta lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Vì \(d \bot \left( P \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)\) làm véctơ chỉ phương.

Từ đó \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) với \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta tìm giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\).

Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\\{\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( { - 1 + 2t} \right)^2} - 2\left( {1 + 2t} \right) + 4\left( { - 2 - t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - 3 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\\9{t^2} - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 3\\y = - 3\\z = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = - 1\\y = - 1\\z = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Suy ra có hai giao điểm là \(A\left( {3; - 3;1} \right)\) và \(B\left( { - 1; - 1; - 3} \right)\).

Ta có: \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.3 - \left( { - 3} \right) + 2.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\);

\(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right) + 2\left( { - 3} \right) - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 7\).

Suy ra \(M \equiv B\left( { - 1; - 1; - 3} \right)\). Từ đó \(a = - 1\); \(b = - 1\); \(c = - 3\).

Vậy \(K = - 5\).

Đáp án cần điền là: -5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.