Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2}

Câu hỏi số 758508:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và hai điểm\(A\left( {3; - 2;6} \right),B\left( {0;1;0} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 2 = 0\) chứa đường thẳng \(AB\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức \(M = 2a + b - c\)bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758508

Phương pháp giải

Để bán kính đường tròn nhỏ nhất điều kiện là \(d\) lớn nhất

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( P \right) \bot \overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) trong đó \(a;b;c\) không đồng thời bằng \(0\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(AB\)nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3a - 2b + 6c - 2 = 0\\b - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2 - 2c\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Bán kính đường tròn giao tuyến là: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} \) trong đó

\(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {c + 4} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{{c^2} + 8c + 16}}{{5{c^2} - 8c + 8}}} \).

Để bán kính đường tròn nhỏ nhất điều kiện là \(d\) lớn nhất

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{c^2} + 8c + 16}}{{5{c^2} - 8c + 8}} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{{24}}{5}.\dfrac{{2c + 3}}{{5{c^2} - 8c + 8}}\) lớn nhất

\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{2c + 3}}{{5{c^2} - 8c + 8}}\) lớn nhất.

Coi hàm số \(m = \dfrac{{2c + 3}}{{5{c^2} - 8c + 8}}\) là một phương trình ẩn \(c\) ta được :

\(5m{c^2} - 2\left( {4m + 1} \right)c + \left( {8m - 3} \right) = 0\), phương trình có nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta ' = - 24{m^2} + 23m + 1 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{24}} \le m \le 1 \Rightarrow m\) lớn nhất

\( \Leftrightarrow c = 1\)

\( \Rightarrow a = 0 \Rightarrow M = 2a + b - c = 1\).

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.