Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 3 = 0\) và

Câu hỏi số 758509:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 3 = 0\) và hai điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\),\(N\left( { - 3; - 3; - 3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(M,{\rm{ }}N\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm \(Q\). Biết rằng \(Q\) luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758509

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng MN. Gọi \(A = MN \cap \left( P \right)\). Các điểm \(M,\,\,N,\,\,Q\) cùng thuộc một đường tròn và \(AQ\) là tiếp tuyến đường tròn. Tìm tọa độ Q từ đó suy ra tâm và bán kính.

Giải chi tiết

Đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 4; - 4} \right)\) là véctơ chỉ phương.

Chọn \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\), suy ra phương trình đường thẳng \(MN\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).

Gọi \(A = MN \cap \left( P \right)\), suy ra tọa độ \(A\) là nghiệm hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 1 + t\\x + y - z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\x = 3\\y = 3\\z = 3\end{array} \right.\).

Suy ra \(A\left( {3;3;3} \right)\).

Các điểm \(M,\,\,N,\,\,Q\) cùng thuộc một đường tròn và \(AQ\) là tiếp tuyến đường tròn đó nên ta có \(A{Q^2} = AM.AN\).

Thay tọa độ các điểm vào ta được \(AM = 2\sqrt 3 \), \(AN = 6\sqrt 3 \), suy ra \(A{Q^2} = 36 \Leftrightarrow AQ = 6\).

Vậy điểm \(Q\) luôn thuộc một đường tròn cố định có tâm\(A\left( {3;3;3} \right)\) và bán kính \(R = 6\).

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.