Một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng \(2km\), đường kính

Câu hỏi số 758837:

Vận dụng

Một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng \(2km\), đường kính \(AB\). Từ điểm \(A\) anh Việt chèo một chiếc thuyền với vận tốc \(3km/h\) đến điểm \(C\) trên bờ hồ, rồi chạy bộ dọc theo thành hồ đến vị trí \(B\) với vận tốc \(6km/h\) (\(C\) không trùng với \(A\) và \(B\)) được mô phỏng như hình vẽ dưới đây

Thời gian lớn nhất mà anh Việt di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là bao nhiêu? (Thời gian tính bằng giờ, kết quả làm tròn đến phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758837

Phương pháp giải

Đặt \(\alpha = \widehat {CAB}\), lập hàm số thời gian \(f\left( \alpha \right)\) và tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Thời gian anh Việt di chuyển từ \(A\) đến \(B\) theo chu trình là \(\dfrac{A C}{3}+\dfrac{\overparen{C B}}{6}\) (giờ)

Xét nửa đường tròn đường kính \(AB\) bán kính \(R = 2 \Rightarrow AB = 4\) (km)

Vì điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn nên tam giác \(CAB\) vuông tại C.

Đặt \(\alpha = \widehat {CAB} \Rightarrow \widehat {COB} = 2\alpha \).

Ta tính được \(A C=4 \cos \alpha ; \overparen{C B}=4 \alpha\).

\(\Rightarrow \dfrac{A C}{3}+\dfrac{\overparen{C B}}{6}=\dfrac{4 \cos \alpha}{3}+\dfrac{4 \alpha}{6}=\dfrac{2}{3}(2 \cos \alpha+\alpha).\)

Xét \(f\left( \alpha \right) = 2\cos \alpha + \alpha \Rightarrow f'\left( x \right) = -2 \sin \alpha + 1 = 0\)

Mà \(\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{6}\).

Ta có bảng biến thiên hàm \(f\left( \alpha \right)\):

Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} f\left( \alpha \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 + \dfrac{\pi }{6}.\)

Vậy \(\left(\dfrac{A C}{3}+\dfrac{\overparen{C B}}{6}\right)_{\max }=\dfrac{2}{3} \cdot\left(\sqrt{3}+\dfrac{\pi}{6}\right) \approx 1,5\).

Đáp án cần điền là: 1,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.