Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(4a\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\)

Câu hỏi số 759352:

Vận dụng

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(4a\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) bằng \(2a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo a .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:759352

Phương pháp giải

Đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng về khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng.

Giải chi tiết

a) Ta có \(d(SA;CD) = d(CD;(SAB)) = d(C;(SAB))\)

\( = 2d(O;(SAB)) = 2d(O;(SCD))\).

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông ABCD, do hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot (ABCD)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của CD, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot OM}\\{CD \bot SO}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow CD \bot (SOM)\).

Trong \((SOM)\) kẻ \(OH \bot SM\) mà \(OH \bot CD\) nên \(OH \bot (SCD)\)

\( \Rightarrow d(O;(SCD)) = OH\). Vậy \(OH = a\).

b) Ta có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} - \dfrac{1}{{4{a^2}}}\)

\( = \dfrac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow SO = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \cdot 16{a^2} = \dfrac{{32{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.