Cho \(\Delta {\rm{ABC}}\) cân tại A , kẻ AH vuông góc với BC tại H.a) Chứng minh: \(\Delta {\rm{AHB}} =

Câu hỏi số 761031:

Vận dụng

Cho \(\Delta {\rm{ABC}}\) cân tại A , kẻ AH vuông góc với BC tại H.
a) Chứng minh: \(\Delta {\rm{AHB}} = \Delta {\rm{AHC}}\) và AH là tia phân giác của \(\angle {{\rm{BAC}}}\).
b) Từ \(H\) kẻ \(HM \bot AB,HN \bot AC\left( {M \in AB,N \in AC} \right)\). Chứng minh: \(MB = NC\).
c) Trên tia đối của tia HM lấy điểm P sao cho H là trung điểm MP. Chứng minh: \({\rm{CP}}//{\rm{AB}}\).
d) Tia AH cắt MN tại \({\rm{K}},{\rm{NP}}\) cắt BC tại \({\rm{E}},{\rm{NH}}\) cắt ME tại Q. Chứng minh: \({\rm{P}},{\rm{Q}},{\rm{K}}\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:761031

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta {\rm{AHB}} = \Delta {\rm{AHC}}\) theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

Từ đó chứng minh được \(\angle {BAH} = \angle {CAH}\) và kết luận AH là phân giác.

b) Chứng minh \(\Delta BMH = \Delta CNH\) theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn. Từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

c) Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau để kết luận hai cạnh song song.

d) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác MNP.

Giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông AHB và AHC có:

AH chung

AB = AC (gt)

Suy ra \(\Delta {\rm{AHB}} = \Delta {\rm{AHC}}\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Khi đó \(\angle {BAH} = \angle {CAH}\) (hai góc tương ứng)

Vậy AH là tia phân giác của \(\angle {{\rm{BAC}}}\).

b) Xét hai tam giác vuông BMH và CNH có:

\(\angle B = \angle C\) (do tam giác ABC cân)

BH = CH (do tam giác ABC cân nên AH đồng thời là trung tuyến)

Suy ra \(\Delta BMH = \Delta CNH\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Khi đó \(MB = NC\) (hai cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CPH\) có:

MH = HP (gt)

HB = HC (cmt)

\(\angle {BHM} = \angle {CHP}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta BMH = \Delta CPH\) (c.g.c)

Khi đó \(\angle {HBM} = \angle {HCP}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên CP // BM hay CP // AB.

d) Vì H là trung điểm của MP nên NH là đường trung tuyến của tam giác MNP.

Ta có BM = NC (cmt); MB = CP (do \(\Delta BMH = \Delta CPH\))

Suy ra NC = CP hay tam giác NCP cân tại C

Lại có CE là đường cao nên CE đồng thời là đường trung tuyến hay NE = EP

Khi đó ME là đường trung tuyến của tam giác MNP

Mà ME giao NH tại Q nên Q là trọng tâm của tam giác MNP.

Suy ra PQ là đường trung tuyến của tam giác MNP (1)

Ta có MH = NH và AM = AN (do AB = AC và BM = CN)

Suy ra AH là đường trung trực của MN hay AH vuông góc với MN tại trung điểm K.

Khi đó PK là đường trung tuyến của tam giác MNP (2)

Từ (1) và (2) suy ra P,Q,K thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link