Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a\); cạnh bên \(SA\)

Câu hỏi số 762101:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a\); cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Biết rằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng \(\dfrac{{2a}}{3}\).

a. Chứng minh mặt phẳng \(\left( {{\rm{SBC}}} \right)\) vuông góc với mặt phẳng ( SAB ).

b. Tính thể tích khối chóp \(S \cdot ABCD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:762101

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)

b) kẻ \(AE \bot BD,\left( {E \in BD} \right)\), \(AH \bot SE,\left( {H \in SE} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAB). \(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot BA}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)} \right.\\BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\end{array}\)

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(AE \bot BD,\left( {E \in BD} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(AH \bot SE,\left( {H \in SE} \right)\) (1)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot SA}\\{BD \bot AE}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BD \bot AH} \right.\)

Từ (1) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AE\), ta có: \(AE = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.\)

Xét \(\Delta SAE\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\), ta có:

\(SA = \dfrac{{AH.AE}}{{\sqrt {A{E^2} - A{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {\dfrac{{4{a^2}}}{5} - \dfrac{{4{a^2}}}{9}} }} = a\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}AB.AD.SA = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.