Cho \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{{a + b + c}}\). Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 762534:

Vận dụng cao

Cho \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{{a + b + c}}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{a^{2025}}}} + \dfrac{1}{{{b^{2025}}}} + \dfrac{1}{{{c^{2025}}}} = \dfrac{1}{{{a^{2025}} + {b^{2025}} + {c^{2025}}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:762534

Phương pháp giải

Từ \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{{a + b + c}}\) biến đổi để suy ra \((a + b)(b + c)(c + a) = 0\)

Lần lượt xét các trường hợp \(a = - b\); \(b = - c;\) \(c = - a\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{{a + b + c}} - \dfrac{1}{c}\)

\(\dfrac{{a + b}}{{ab}} = \dfrac{{ - (a + b)}}{{c(a + b + c)}}\)

\(\dfrac{{a + b}}{{ab}} + \dfrac{{(a + b)}}{{c(a + b + c)}} = 0\)

\((a + b)(b + c)(c + a) = 0\)

Nếu \(a = - b\) ta có:

\(\dfrac{1}{{{a^{2025}}}} + \dfrac{1}{{{b^{2025}}}} + \dfrac{1}{{{c^{2025}}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{a^{2025}}}} + \dfrac{1}{{ - {a^{2025}}}} + \dfrac{1}{{{c^{2025}}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{c^{2025}}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{a^{2025}} + {b^{2025}} + {c^{2025}}}}\)

Tương tự ta cũng có các kết luận như trên với \(b = - c;c = - a\)

Vậy \(\dfrac{1}{{{a^{2025}}}} + \dfrac{1}{{{b^{2025}}}} + \dfrac{1}{{{c^{2025}}}} = \dfrac{1}{{{a^{2025}} + {b^{2025}} + {c^{2025}}}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link