Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, có đường cao AH.1) Chứng minh \(\Delta HBA\) đồng dạng với \(\Delta

Câu hỏi số 762607:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, có đường cao AH.

1) Chứng minh \(\Delta HBA\) đồng dạng với \(\Delta ABC\).

2) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AH. Qua điểm \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BI tại điểm \(E\). Chứng minh \(B{A^2} = BI.BE = BH.BC\).

3) Trên tia đối của tia AH, lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AH\). Chứng minh ba điểm \(C,E,{\mkern 1mu} D\) là ba điểm thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:762607

Phương pháp giải

1) Xét hai tam giác đồng dạng theo trường hợp g.g

2) Áp dụng hệ thức lượng có\(B{A^2} = BH.BC\).

Chứng minh \(\Delta BIH\)~\(\Delta BCE\) (g.g) rồi suy ra \(B{A^2} = BI.BE = BH.BC\)

3) Biến đổi \(B{A^2} = BI.(BI + IE) = B{I^2} + BI.IE\) suy ra \(BI.IE = B{A^2} - B{I^2}\)

Đặt \(IA = IH = a\,(a > 0)\) suy ra \(AD = 2a\)

Áp dụng định lí Pythagore để lập luận được: \(B{A^2} - B{I^2} = A{H^2} - I{H^2} = 3{a^2}\)

Từ đó suy ra \(BI.IE = 3{a^2}\) hay \(BI.IE = IH.ID\)

Chứng minh\(\Delta BIH\)~\(\Delta DIE\) (c.g.c) rồi suy ra \(\angle DEI = 90^\circ \)

Vậy \(C,{\mkern 1mu} E,{\mkern 1mu} D\) là ba điểm thẳng hàng.

Giải chi tiết

1) Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\angle AHB = \angle BAC\left( { = 90^\circ } \right)\)

Góc\(B\)chung

Suy ra \(\Delta HBA\)~\(\Delta ABC\) (g.g).

2) Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A, đường cao AH có\(B{A^2} = BH.BC\) (1)

Xét tam giác \(\Delta BIH\)và \(\Delta BCE\) có:

\(\angle BHI = \angle BEC\left( { = 90^\circ } \right)\)

Góc\(B\)chung

Suy ra\(\Delta BIH\)~\(\Delta BCE\) (g.g)

Suy ra \(\dfrac{{BI}}{{BC}} = \dfrac{{BH}}{{BE}}\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó: \(BI.BE = BH.BC\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(B{A^2} = BI.BE = BH.BC\)(đpcm)

3) Ta có:\(B{A^2} = BI.BE = BI.(BI + IE) = B{I^2} + BI.IE\)

Suy ra \(BI.IE = B{A^2} - B{I^2}\)

Đặt \(IA = IH = a\,\,\left( {a > 0} \right)\)

Suy ra \(AD = 2a\)

Áp dụng định lí Pythagore ta có: \(B{A^2} = B{H^2} + A{H^2}\) và \(B{I^2} = B{H^2} + I{H^2}\)

Suy ra \(B{A^2} - B{I^2} = A{H^2} - I{H^2} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}\)

Suy ra \(BI.IE = 3{a^2}\)

Do đó \(BI.IE = IH.ID\) hay \(\dfrac{{BI}}{{IH}} = \dfrac{{ID}}{{IE}}\)

Xét \(\Delta BIH\)và \(\Delta DIE\)có:

\(\dfrac{{BI}}{{IH}} = \dfrac{{ID}}{{IE}}\)(cmt)

\(\angle BIH = \angle DIE\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta BIH\)~\(\Delta DIE\) (c.g.c)

Suy ra \(\angle DEI = \angle BHI = 90^\circ \)

Vậy \(C,{\mkern 1mu} E,{\mkern 1mu} D\) là ba điểm thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link