Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực đôi một khác nhau. Đặt \(x = \dfrac{{a + b}}{{a -

Câu hỏi số 762608:

Vận dụng cao

Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực đôi một khác nhau. Đặt \(x = \dfrac{{a + b}}{{a - b}};y = \dfrac{{b + c}}{{b - c}};z = \dfrac{{c + a}}{{c - a}}\).

1) Chứng minh \(xy + yz + zx = - 1\).

2) Chứng minh \(|x| + |y| + |z| \ge 2\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:762608

Phương pháp giải

1) Thay \(x = \dfrac{{a + b}}{{a - b}};y = \dfrac{{b + c}}{{b - c}};z = \dfrac{{c + a}}{{c - a}}\) vào biểu thức \(xy + yz + zx\) rồi tính toán suy ra điều phải chứng minh.

2) Vì \({(x + y + z)^2} \ge 0\) nên \({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 2\)

\({P^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2(|xy| + |yz| + |zx|)\)

\({P^2} \ge 2 + 2|xy + yz + zx|\)

Vậy \(P \ge 2\)

Giải chi tiết

1) Thay \(x = \dfrac{{a + b}}{{a - b}};y = \dfrac{{b + c}}{{b - c}};z = \dfrac{{c + a}}{{c - a}}\) vào biểu thức \(xy + yz + zx\) ta được:

\(xy + yz + zx = \dfrac{{a + b}}{{a - b}}.\dfrac{{b + c}}{{b - c}} + \dfrac{{b + c}}{{b - c}}.\dfrac{{c + a}}{{c - a}} + \dfrac{{c + a}}{{c - a}}.\dfrac{{a + b}}{{a - b}}\)

\( = \dfrac{{a + b}}{{a - b}}.\left( {\dfrac{{b + c}}{{b - c}} + \dfrac{{c + a}}{{c - a}}} \right) + \dfrac{{b + c}}{{b - c}}.\dfrac{{c + a}}{{c - a}}\)

\( = \dfrac{{a + b}}{{a - b}}.\dfrac{{\left( {b + c} \right)\left( {c - a} \right) + \left( {c + a} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \dfrac{{b + c}}{{b - c}}.\dfrac{{c + a}}{{c - a}}\)

\( = \dfrac{{a + b}}{{a - b}}.\dfrac{{bc - ab + {c^2} - ac + bc - {c^2} + ab - ac}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \dfrac{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = \dfrac{{a + b}}{{a - b}}.\dfrac{{2c\left( {b - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \dfrac{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = \dfrac{{ - 2c\left( {a + b} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \dfrac{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = \dfrac{{ - 2ac - 2bc + bc + ab + {c^2} + ac}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = \dfrac{{ - bc + ab + {c^2} - ac}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = \dfrac{{\left( {c - b} \right)\left( {c - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = - 1\)

2) Vì \({(x + y + z)^2} \ge 0\) nên \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 \ge 0\)

Suy ra \({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 2\)

Ta có:\({P^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2(|xy| + |yz| + |zx|) \ge 2 + 2|xy + yz + zx| = 4\)

Vậy \(P \ge 2\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link