1) Một hộp đựng bóng có dạng hình trụ đựng được vừa khít \(3\) quả bóng như hình vẽ

Câu hỏi số 765226:

Vận dụng

1) Một hộp đựng bóng có dạng hình trụ đựng được vừa khít \(3\) quả bóng như hình vẽ bên. Coi quả bóng có dạng hình cầu với đường kính \(6cm\). Tính thể tích phần khoảng không trong hộp?

2) Từ điểm \(A\) nằm ngoài \(\left( O \right)\)vẽ hai tiếp tuyến \(AB,AC\) với đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm). Kẻ đường kính \(CD\) của \(\left( O \right)\).

a) Chứng minh \(BD{\rm{//}}AO\).

b) \(AD\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) (\(A,E,D\) theo thứ tự). Chứng minh rằng \(A{B^2} = AE.AD\).

c) Vẽ \(BH \bot DC\) tại \(H\). Gọi \(I\)là trung điểm của \(BH\). Chứng minh ba điểm \(A,I,D\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:765226

Giải chi tiết

1) Chiều cao của hộp là: \(6.3 = 18\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Bán kính của mặt hôp là: \(6:2 = 3\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Thể tích hộp là: \(V = \pi {R^2}h = {3^2}.18\pi = 162\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)

Thể tích 3 quả bóng là \(V = 3.\dfrac{4}{3}.\pi {\rm{.}}{r^3} = 3.\dfrac{4}{3}.\pi {.3^3} = 108\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích phần khoảng không trong hộp là: \(162\pi - 108\pi = 54\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

a) Ta có \(B\)thuộc \(\left( O \right)\) và có \(CD\) là đường kính của \(\left( O \right)\)

Suy ra \(\Delta BCD\) nội tiếp \(\left( {O;\dfrac{{CD}}{2}} \right)\)

Suy ra \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\)

Suy ra \(\angle {CBD} = 90^\circ \)

Suy ra \(BD \bot BC\)

Vì \(AB,AC\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(AB = AC\) (tính chất)

Suy ra \(\Delta ABC\)cân tại \(A\)

Lại có \(AO\)là tia phân giác của \(\angle {BAC}\)

Suy ra \(AO\)là đường cao của \(\Delta ABC\)

Suy ra \(AO \bot BC\)

Ta có \(BD \bot BC\),\(AO \bot BC\). Suy ra \(BD{\rm{//}}AO\)

b) Ta có \(E\)thuộc \(\left( O \right)\) và có \(CD\) là đường kính của \(\left( O \right)\)

Suy ra \(\Delta CDE\) nội tiếp \(\left( {O;\dfrac{{CD}}{2}} \right)\)

Suy ra \(\Delta CDE\) vuông tại \(E\)

Suy ra \(\angle {CED} = 90^\circ \)

Suy ra \(CE \bot AD\)

Xét hai tam giác \(\Delta AEC\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\angle {AEC} = \angle {ACD} = 90^\circ \)

\(\angle A\) chung

Vậy \(\Delta AEC\)~\(\Delta ACD\)

Suy ra \(\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AD}}\), suy ra \(A{C^2} = AE.AD\)

Mà \(AB = AC\)

Suy ra \(A{B^2} = AE.AD\)

c)Xét hai tam giác \(\Delta HDB\) và \(\Delta COA\) có:

\(\angle {DHB} = \angle {OCA} = 90^\circ \)

\(\angle {HDB} = \angle {COA}\) (đồng vị và \(BD{\rm{//}}AO\))

Vậy \(\Delta HDB\)~\(\Delta COA\)

Suy ra \(\dfrac{{HD}}{{OC}} = \dfrac{{BH}}{{AC}}\) suy ra\(\dfrac{{HD}}{{2OC}} = \dfrac{{BH}}{{2AC}}\)

Mà \(CD = 2OC,BH = 2HI\) (vì \(O,I\) lần lượt là trung điểm của \(CD,BH\))

Suy ra \(\dfrac{{HD}}{{CD}} = \dfrac{{HI}}{{AC}}\)

Xét hai tam giác \(\Delta HDI\) và \(\Delta CDA\) có:

\(\angle {DHI} = \angle {DCA} = 90^\circ \)

\(\dfrac{{HD}}{{CD}} = \dfrac{{HI}}{{AC}}\)

Vậy \(\Delta HDI\)~\(\Delta CDA\left( {c.g.c} \right)\)

Suy ra \(\angle {HDI} = \angle {CDA}\)

Suy ra hai tia \(DI,\,DA\)trùng nhau

Vậy ba điểm \(A,\,I,\,D\) thẳng hàng

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link