Biết rằng đường thẳng $y = - 1$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Câu hỏi số 767271:

Vận dụng

Biết rằng đường thẳng $y = - 1$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = 2x + \sqrt {a{x^2} + bx + 4} ,$ khi đó tích $ab$ bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 16

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767271

Phương pháp giải

Sử dụng tiệm cận của đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Để đường thẳng $y = -1$ là tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$.

Xét $x \to +\infty$

$\lim_{x \to +\infty} (2x + \sqrt{ax^2+bx+4}) = \lim_{x \to +\infty} x(2 + \sqrt{a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{4}{x^2}})$.

Nếu $a \ge 0$, giới hạn này bằng $+\infty$ (không thỏa mãn).

Xét $x \to -\infty$

Ta có: $y = \dfrac{(2x + \sqrt{ax^2+bx+4})(2x - \sqrt{ax^2+bx+4})}{2x - \sqrt{ax^2+bx+4}} = \dfrac{(4-a)x^2 - bx - 4}{2x - \sqrt{ax^2+bx+4}}$

Khi $x \to -\infty$, đặt $x = -t$ ($t \to +\infty$):

$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{t \to +\infty} \dfrac{(4-a)t^2 + bt - 4}{-2t - \sqrt{at^2 - bt + 4}} = \lim_{t \to +\infty} \dfrac{(4-a)t^2 + bt - 4}{t(-2 - \sqrt{a - \dfrac{b}{t} + \dfrac{4}{t^2}})}$

Để giới hạn này bằng $-1$ (hằng số), tử số phải là đa thức bậc 1.

$\Rightarrow 4 - a = 0 \Leftrightarrow \mathbf{a = 4}$.

Khi đó: $\lim_{t \to +\infty} \dfrac{bt - 4}{t(-2 - \sqrt{4 - \dots})} = \dfrac{b}{-2-2} = \dfrac{b}{-4}$.

Theo đề bài: $\dfrac{b}{-4} = -1 \Leftrightarrow \mathbf{b = 4}$.

Vậy $ab = 4 \cdot 4 = 16$.

Đáp án cần điền là: 16

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.