Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(I{\rm{ }}\left( {2;{\rm{ }} - 1} \right)\) và đường thẳng

Câu hỏi số 767278:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(I{\rm{ }}\left( {2;{\rm{ }} - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:{\rm{ }}3x + y + 5 = 0.\) Đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}x + by + c = 0{\rm{ }}\left( {c > 0} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) và cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) phân biệt, biết \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và đường kính bằng \(4\sqrt {10} .\) Tam giác \(IAB\) tù và có diện tích bằng \(10\sqrt 3 .\) Giá trị của \(c\) là

A. \(5.\)

B. \(\sqrt 5 .\)

C. \(15.\)

D. \(\sqrt {15} .\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767278

Phương pháp giải

Sử dụng hình học trong mặt phẳng \(Oxy.\)

Giải chi tiết

Do \(d \bot \Delta ,\) ta chọn được một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\left( {1;{\rm{ }} - 3} \right).\) Vậy \(b = - 3.\)

Phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 40.\)

Diện tích tam giác \(IAB\) bằng: \(\dfrac{1}{2} \cdot IA \cdot IB \cdot \sin AIB = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt {10} \cdot 2\sqrt {10} \cdot \sin AIB = 10\sqrt 3 \Rightarrow \sin AIB = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Do \(\widehat {AIB}\) tù nên \(\widehat {AIB} = {120^ \circ }.\)

Kẻ \(IH \bot AB{\rm{ }}\left( {H \in AB} \right),\) khi đó \(\widehat {AIH} = {60^ \circ } \Rightarrow IH = IA \cdot \cos {60^ \circ } = \sqrt {10} = d\left( {I,{\rm{ }}\Delta } \right).\)

Ta có \(d\left( {I,{\rm{ }}\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {2 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {c + 5} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 5{\rm{ }}\left( {TM} \right){\rm{ }}}\\{c = - 15{\rm{ }}\left( {KTM} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy \(c = 5.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.