Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):{\rm{ }}x - my + z + 6m + 3 = 0\)

Câu hỏi số 767305:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):{\rm{ }}x - my + z + 6m + 3 = 0\) và \(\left( \beta \right):{\rm{ }}mx + y - mz + 3m - 8 = 0.\) Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \(\Delta .\) Gọi \(\Delta '\) là hình chiếu của \(\Delta \) lên mặt phẳng \(Oxy.\) Khi tham số \(m\) thay đổi thì đường thẳng \(\Delta '\) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm \(I{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ 0}}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(Oxy,\) Giá trị biểu thức \(P = ab\) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: -21

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767305

Phương pháp giải

Sử dụng hình học trong hệ tọa độ \(Oxyz.\)

Giải chi tiết

Ta có hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;{\rm{ }} - m;{\rm{ }}1} \right),\overrightarrow {{\rm{ }}{n_\beta }} = \left( {m;{\rm{ 1}};{\rm{ }} - m} \right).\)

Vậy một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {{m^2} - 1;{\rm{ }}2m;{\rm{ }}{m^2} + 1} \right).\)

Từ điều kiện đề bài, ta thấy \(\Delta '\) và \(\Delta \) tạo thành một mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(Oxy\) và tiếp xúc với mặt cầu. Khi đó một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;{\rm{ }}\overrightarrow k } \right] = \left( {2m;{\rm{ }}1 - {m^2};{\rm{ }}0} \right).\)

Từ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - my + z + 6m + 3 = 0{\rm{ }}}\\{mx + y - mz + 3m - 8 = 0}\end{array},} \right.\) cho \(y = 0,\) ta nhận được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - my + 6m + 3 = 0}\\{mx + y + 3m - 8 = 0}\end{array}.} \right.\)

Giải hệ trên, ta có điểm \(\left( {\dfrac{{ - 3{m^2} - 3m + 4}}{m};{\rm{ }}0;{\rm{ }}\dfrac{{ - 3{m^2} - 4}}{m}} \right).\)

Suy ra \(\left( P \right):{\rm{ }}2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y + 6{m^2} + 6m - 8 = 0.\)

Lại có \(d\left( {I;{\rm{ }}\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{{m^2} + 1}} = R > 0\)

Trường hợp 1: \(2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8 = R\left( {{m^2} + 1} \right)\)

\(\left( {6 - b} \right){m^2} + \left( {2a + 6} \right)m + \left( {b - 8} \right) = R{m^2} + R \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - b = b - 8 = R > 0}\\{2a + 6 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 7}\\{a = - 3}\end{array}} \right..\)

Trường hợp 2: \(2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8 = - R\left( {{m^2} + 1} \right)\)

\(\left( {6 - b} \right){m^2} + \left( {2a + 6} \right)m + \left( {b - 8} \right) = - R{m^2} - R \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - b = b - 8 = - R < 0}\\{2a + 6 = 0}\end{array}} \right..\) Ta thấy hệ này vô nghiệm.

Vậy \(P = ab = 3 \cdot \left( { - 7} \right) = - 21.\)

Đáp án: -21

Đáp án cần điền là: -21

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.