Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):{\rm{ }}x - my + z + 6m + 3 = 0$

Câu hỏi số 767305:

Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):{\rm{ }}x - my + z + 6m + 3 = 0$ và $\left( \beta \right):{\rm{ }}mx + y - mz + 3m - 8 = 0.$ Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $\Delta .$ Gọi $\Delta '$ là hình chiếu của $\Delta $ lên mặt phẳng $Oxy.$ Khi tham số $m$ thay đổi thì đường thẳng $\Delta '$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm $I{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ 0}}} \right)$ thuộc mặt phẳng $Oxy,$ Giá trị biểu thức $P = ab$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: -21

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767305

Phương pháp giải

Sử dụng hình học trong hệ tọa độ $Oxyz.$

Giải chi tiết

Ta có hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;{\rm{ }} - m;{\rm{ }}1} \right),\overrightarrow {{\rm{ }}{n_\beta }} = \left( {m;{\rm{ 1}};{\rm{ }} - m} \right).$

Vậy một vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {{m^2} - 1;{\rm{ }}2m;{\rm{ }}{m^2} + 1} \right).$

Từ điều kiện đề bài, ta thấy $\Delta '$ và $\Delta $ tạo thành một mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng $Oxy$ và tiếp xúc với mặt cầu. Khi đó một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;{\rm{ }}\overrightarrow k } \right] = \left( {2m;{\rm{ }}1 - {m^2};{\rm{ }}0} \right).$

Từ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - my + z + 6m + 3 = 0{\rm{ }}}\\{mx + y - mz + 3m - 8 = 0}\end{array},} \right.$ cho $y = 0,$ ta nhận được $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - my + 6m + 3 = 0}\\{mx + y + 3m - 8 = 0}\end{array}.} \right.$

Giải hệ trên, ta có điểm $\left( {\dfrac{{ - 3{m^2} - 3m + 4}}{m};{\rm{ }}0;{\rm{ }}\dfrac{{ - 3{m^2} - 4}}{m}} \right).$

Suy ra $\left( P \right):{\rm{ }}2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y + 6{m^2} + 6m - 8 = 0.$

Lại có $d\left( {I;{\rm{ }}\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{{m^2} + 1}} = R > 0$

Hệ số của $m$ phải triệt tiêu: $2a + 6 = 0 \Rightarrow \mathbf{a = -3}$.

Khi đó: $\frac{|(6-b)m^2 + (b-8)|}{m^2 + 1} = R \Leftrightarrow |(6-b)m^2 + (b-8)| = Rm^2 + R$.

TH1: $(6-b)m^2 + (b-8) = Rm^2 + R \Rightarrow 6-b = b-8 = R$. Giải ra $b=7, R=-1$ (Loại).

TH2: $(6-b)m^2 + (b-8) = -(Rm^2 + R) \Rightarrow 6-b = b-8 = -R$. Giải ra $\mathbf{b=7}, R=1$ (Nhận).

Vậy $a = -3, b = 7$.

Giá trị biểu thức $P = ab = (-3) \cdot 7 = \mathbf{-21}$.

Đáp án: -21

Đáp án cần điền là: -21

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.