Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {a{x^2} - 3} + \sqrt {b{x^2} + 12x + 3} -

Câu hỏi số 767437:

Vận dụng cao

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {a{x^2} - 3} + \sqrt {b{x^2} + 12x + 3} - 5x\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)\). Biết \(a + b = 13\), đồng thời \(f\left( x \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to + \infty \). Khi đó, tính giá trị nhỏ nhất của\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\). (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767437

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp liên hợp

Giải chi tiết

Điều kiện cần để \(f\left( x \right)\)có giới hạn hữu hạn khi \(x \to + \infty \)là: \(\sqrt a + \sqrt b - 5 = 0\).
Khi đó, giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 13\\\sqrt a + \sqrt b = 5\end{array} \right.\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}a = 4,\,b = 9\\a = 9,\,b = 4\end{array} \right.\).
Với \(a = 4,\,b = 9\) ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3} + \sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 5x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\left( {\sqrt {4{x^2} - 3} - 2x} \right) + \left( {\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 3x} \right)} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {4{x^2} - 3} + 2x}} + \dfrac{{12x + 3}}{{\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} + 3x}}} \right)\\ = 0 + \dfrac{{12}}{{3 + 3}} = 2\end{array}\)

Với \(a = 9,\,b = 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - 3} + \sqrt {4{x^2} + 12x + 3} - 5x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\left( {\sqrt {9{x^2} - 3} - 3x} \right) + \left( {\sqrt {4{x^2} + 12x + 3} - 2x} \right)} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {9{x^2} - 3} + 3x}} + \dfrac{{12x + 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 12x + 3} + 2x}}} \right)\\ = 0 + \dfrac{{12}}{{2 + 2}} = 3\end{array}\)

Từ 2 trường hợp, ta suy ra giá trị nhỏ nhất của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\)là 2 khi \(a = 4,\,b = 9\).

Đáp án: 2

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.