Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2;3}

Câu hỏi số 768040:

Thông hiểu

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 9y - 9z - 123 = 0\). Số điểm có tọa độ nguyên thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) là _______

Đáp án:

Đáp án đúng là: 120

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768040

Phương pháp giải

Công thức hoán vị.

Giải chi tiết

Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là khoảng cách từ \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 9y - 9z - 123 = 0\)

Nên \(R = \dfrac{{\left| {2.1 + 9.\left( { - 2} \right) - 9.3 - 123} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {9^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} }} = \sqrt {166} \)

Do đó phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 166\)

Ta có \(166 = {3^2} + {6^2} + {11^2} = {6^2} + {7^2} + {9^2} = {2^2} + {9^2} + {9^2}\)

Do bộ số \(\left( {\left| {x - 1} \right|;\left| {y + 2} \right|;\left| {z - 3} \right|} \right)\) là một hoán vị của bộ ba số \(\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}6{\rm{ }};{\rm{ }}11} \right)\), có tất cả 6 hoán vị như vậy.

Với mỗi bộ hoán vị \(\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}6{\rm{ }};{\rm{ }}11} \right)\) cho ta hai giá trị \(x\), hai giá trị \(y\), hai giá trị \(z\) tức là có \(2.2.2 = 8\) bộ \(\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y{\rm{ }};{\rm{ }}z} \right)\) là phân biệt nên theo quy tắc nhân có tất cả \(6.8 = 48\) điểm có toạ độ nguyên thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

Tương tự với bộ số \(\left( {{\rm{6 }};{\rm{ 7 }};{\rm{ 9}}} \right)\)cũng có 48 điểm có toạ độ nguyên thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

Với bộ số \(\left( {{\rm{2 }};{\rm{ 9 }};{\rm{ 9}}} \right)\) chỉ có 3 hoán vị là \(\left( {{\rm{2 }};{\rm{ 9 }};{\rm{ 9}}} \right)\); \(\left( {{\rm{9 }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 9}}} \right)\); \(\left( {{\rm{9 }};{\rm{ 9 }};{\rm{ 2}}} \right)\). Và mỗi hoán vị như vậy lại có 8 bộ \(\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y{\rm{ }};{\rm{ }}z} \right)\) là phân biệt nên theo quy tắc nhân có tất cả \(3.8 = 24\) điểm có toạ độ nguyên thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

Vậy có tất cả \(48 + 48 + 24 = 120\) điểm có toạ độ nguyên thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

Đáp án: 120

Đáp án cần điền là: 120

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.